Напряжение на конденсаторе

[WithoutName]

Допустим, у нас есть цепь с источником ЭДС $e$, $r$, сопротивлением $R$ и конденсатором (всё соединено последовательно), в который вдвигают диэлектрик. Каково будет напряжение на нём?
По сути, нужно найти сопротивление на одной клемме сопротивления и одной клемме источника ЭДС (к которым непосредственно подсоединён конденсатор). Запишем закон Ома для этого участка цепи: $U = I(R+r) - e$. Ток $I$ будет обусловлен перераспределением зарядов (ёмкость меняется). Верно ли это?

[Walker_XXI]

В конечном итоге напряжение на конденсаторе будет равно э.д.с., а ток равен 0. Переходный процесс -- зарядка "дополнительного" конденсатора переменной ёмкости. Если пренебречь временем внесения диэлектрика в конденсатор (считать его почти нулевым), то будем иметь простейший случай -- зарядку конденсатора постоянной ёмкости с постоянной времени $\tau = (R+r)\,\Delta C$.

[WithoutName]

Walker_XXI
Где можно почитать про переходные процессы, если я школьник (правда, с небольшой базой матанализа (выше школы))?

-- 16.11.2017, 22:13 --

Решил начать вот с чего.
Общее уравнение для нашей цепи имеет вид
$e = U(t) + I(t)R$, где $U$ - напряжение на конденсаторе, $I$ - сила тока через резистор.
Сразу возникает вопрос. У нас параллельно с током зарядки будет идти ток в противоположную сторону вследствие изменения ёмкости. Как это учесть в $I(t)$? И нужно ли?

[Walker_XXI]

WithoutName в сообщении #1265909 писал(а):

Где можно почитать про переходные процессы, если я школьник (правда, с небольшой базой матанализа (выше школы))?

В принципе, это описано в любом вузовском учебнике по электротехнике.
Если по-быстрому с честным составлением и решением диффура, то можно посмотреть тут: http://itteach.ru/fizika/perechodnie-pr ... densatorom

Если на среднем школьном уровне без производных и решения диффуров (хотя реально получается более "мутно" и менее понятно), то тут: http://scorcher.ru/art/electronica/electronica1.php

-- 16.11.2017, 23:40 --

WithoutName в сообщении #1265909 писал(а):

У нас параллельно с током зарядки будет идти ток в противоположную сторону вследствие изменения ёмкости. Как это учесть в $I(t)$? И нужно ли?

Для начала разберитесь просто с тем, как заряжается конденсатор постоянной ёмкости. Запишите напряжение на конденсаторе через его заряд и ёмкость, вспомните, как ток связан с зарядом. В написанном Вами уравнении $I(t)$ -- это полный ток последовательной цепи. Ток зарядки/разрядки -- это и есть ток вследствие изменения ёмкости.

[fred1996]

WithoutName
А вы попытайтесь прямо здесь и решить задачу, не заглядывая в учебник.
Уравнение вы почти написали. Остается его оформить надлежащим образом и решить для заданных начальных условиях. Вы даже можете его решить не для мгновенного изменения емкости конденсатора, а например по линейному по времени закону. Или внесению диэлектрического слоя с постоянной скоростью. Но для начала можно изменить мгновенно, чтобы получить стандартный переходный процесс в $RC$ цепочке. С помощью замыкания-размыкания ключа.

[WithoutName]

fred1996
Вы клоните к тому, чтобы я записал уравнение
$e = U(t) + \frac{d(CU)}{dt}$?

[fred1996]

WithoutName
Пока что вы написали невесть что.
$CU$ - это заряд на конденсаторе, то есть производная от этого выражения, это просто ток через конденсатор. Потом у вас во втором законе Кирхгофа нужно складывать падения напряжения на всех последовательно соединенных элементах и приравнивать полной ЭДС в этой цепочке. ЭДС у вас есть, а где напряжения на резисторах и конденсаторе, которые явным образом выражаются через заряды и токи. В результате у вас должен получиться линейный дифур первого порядка относительно заряда, поскольку ток - это производная заряда по времени.

[WithoutName]

fred1996
Ой, я забыл $R$. Конечно же
$e = U(t) + R\frac{d(CU)}{dt}$

-- 17.11.2017, 00:12 --

fred1996
Если вдвигать в конденсатор диэлектрическую пластинку, то у нас одновременно ёмкость и напряжение являются функциями времени, а следовательно то общее уравнение сильно усложняется. Как быть?

[fred1996]

WithoutName
Еще раз. У вас ток - это как раз функция, которую нужно найти. Где она у вас в уравнении?
Вы когда составляете уравнение для $RC$ цепочки, у вас неизестная функция от времени - это заряд на обкладках конденсатора. И ток в цепи, который есть производная заряда по времени. Остальные параметры системы известны. В том числе и временная зависимость емкости конденсатора от времени. В этом смысле ничего не устожняется. Просто емкость теперь не постоянна. Но для начала вы лучше решите задачу для постоянной емкости. То есть сначала вычислите, какой заряд установится на конденсаторе без диэлектрика, а потом моментально поменяйте емкость. У вас будет дифур первоо порядка с известным начальным зарядом на обкладках. Что даст вам возможность найти единственное решение. Ведь дифур первого порядка решается с точностью до константы, которая поределяется начальными условиями в нулевой момент времени.

[WithoutName]

fred1996
Видимо, это из-за непривычки к дифференциальным уравнениям и пол первого ночи.
Сейчас всё исследую, спасибо.

[fred1996]

WithoutName
Ничего страшного. К дифурам привыкают постепенно. И как раз с помощью подходящих задачек по физике.
Еще дифуры первого порядка удобно представлять графически.
Грубо говоря, вы задаете значение переменной и функции точкой на плоскости $xy$, где $x$ - это значение переменной, а $y$ - значение функции. И из уравнения вычисляете значение производной в этой точке, что есть просто наклон. То есть у вас получается некоторое векторное поле, а решениями дифура будут все кривые, которые получаются соединениями этих точек с учетом наклонов. Получается целое семейство кривых, положение и форма которых зависит от одного параметра. Это и есть графическое объяснение математического смысла решения дифура первого порядка. В вашем случае уже известна одна точка на этой кривой - заряд конденсатора в нулевой момент времени. То есть вам нужно выбрать из хтого семуйства кривых ту, которая проходит через вашу точку.

[WithoutName]

fred1996
Я попробовал решить диффур. Собственно, первый более-менее серьёзный в моей жизни.

Получилось
$q(t) = (\frac{q_0}{C} - e)\exp(\frac{-t}{RC}) + Ce$
Следовательно, при $t\to \infty$ заряд $q \to Ce$
Верно?

-- 17.11.2017, 01:10 --

(Оффтоп)

Вообще, результат очевидный, если учесть, что на бесконечности падение напряжения на конденсаторе будет равно ЭДС источника.
Но всё равно другие эмоции от аналитически строгого решения

-- 17.11.2017, 01:12 --

А что вы имели ввиду под "Моментально поменяйте емкость"? В смысле исследовать, что будет с зарядом на бесконечном времени при различных значениях емкости?

[fred1996]

WithoutName
Почти верно.
У вас с размерностями слегка напутано.
И потом наверное ответ лучше выдавать в терминах емкостей конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. То есть. $C_0$ и $C=kC_0$

Когда получите верный ответ, попробуйте решить уравнение для $C=C_0+\alpha(k-1)C_0t$, когда t меняется от 0 до $\frac{1}{\alpha}$ и потом постоянна. И посмотрите, что будет в пределе, при больших и малых $\alpha$

Постройте графики функции и посмотрите, чем они отличаются при разных начальных условиях. (разных начальных зарядах на конденсаторе).
В общем такое исследование задачи позволит вам лучше понять физический смысл происходящего.

[WithoutName]

$q(t) = eC + (q_0 - eC)\exp(\frac{-t}{RC})$
Моя невнимательность пропустила множитель.

[fred1996]

WithoutName
Если шибко не придираться, то верно. Хотя общее сопротивление исходя из вашей задачи будет $r+R$, емкость конденсатора с диэлектриком $kC$, а начальный заряд $\varepsilon C$