Рекуррентная формула для многочленов Лежандра

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1265542 писал(а):

если всё, что известно о системе полиномов по условию задачи — это формула Родрига, имеем ли мы право использовать ортогональность?

Если мы не знаем, что речь о многочленах именно ортогональных -- откуда и зачем вообще возьмётся формула Родрига?

Хотя среди составителей, конечно, извращенцы иногда встречаются...

[svv]

(Оффтоп)

Не вижу ничего извращённого в постановке задачи:
Основываясь на формуле Родрига для многочленов Лежандра, доказать рекуррентную формулу $P_{k+1}(x)=...$

[ikozyrev]

svv в сообщении #1265542 писал(а):

Мне этот факт известен. Но, если всё, что известно о системе полиномов по условию задачи — это формула Родрига, имеем ли мы право использовать ортогональность?
Этот вопрос, скорее, к автору темы.

Именно так задача и звучит - вот собственно изначальная формулировка (задача 3.10):
http://ium.mccme.ru/postscript/f17/geometry-l3.pdf

То есть ортогональность мы доказываем пунктом б) что как бы намекает что мы ей в пункте а) не пользуемся.
Впрочем, ортогональность я доказывать умею (через интегрирование по частям и постепенному сведению в ноль).
Так что можно и воспользоваться ей.
Но кажется в лоб - проще (просто раскрыть скобки по биному Ньютона, посчитать аккуратно биноминальные коэффициенты и продифференцировать всю эту штуку нужное количество раз).

[svv]

Спасибо.
Скриншот специально для ewertа:

[ewert]

А я что говорил?... Бывают, бывают! Теперь это строго доказано.

Кстати, ортогональные многочлены ни разу не определяются формулами Родрига. Они определяются их ортогональностью. И ещё кстати -- совершенно бессмысленно выделять случай $k=0$ как особый.

Так что я угадал.