Задачи на метрику.

[Эйлиринья]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться с двумя задачами, которые вызывают у меня затруднения...

Задача 1.
Пусть $x_n\to x$ Докажите, что $d(x_n, y)\to d(x, y)$

Метрика в этой задаче не задается, и я не понимаю: можно взять произвольную метрику, или же нужно доказать для любой d?
Я пробовала расписывать пределы последовательностей по определениям, но так и не нашла решения.

Задача 2.
Пусть A : $M\to M$ - сжимающее отображение простарнства (M, d). $x_n\to x$ . Докажите, что $A(x_n)\to A(x)$
В доказательстве теоремы о сжимающем отображении мы на лекциях использовали следующее свойство:

$\lim\limits_{n \to \infty} A(x_n) = A(\lim\limits_{n \to \infty} (x_n))$,
то есть, вторая задача сводится к его доказательству.
Не подскажете, как это сделать?=)

[Alexiii]

Первая задача прямо по определению сходимости и метрики очевидно доказывается.

[AD]

1. Нужно просто сформулировать, что значит $x_n\xrightarrow[n\to\infty]{}x$.То есть взять конспект и прочитать определение. Если прозрения не наступит - напишите здесь, как вы понимаете это определение, а мы проверим.

2. Требуется заметить, что требуется всего лишь доказать непрерывность любого сжимающего отображения. А потом проверить непрерывность непосредственно в режиме $\varepsilon-\delta$.

[Эйлиринья]

AD, это значит, что
$\forall(\epsilon>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $d(x_n,x)< \epsilon$
И мне не совсем ясно, как использовать это орпеделение при доказательстве.

Я понимаю, что при неограниченном возрастании n, x_n переходит в x. Но как в метрике вместо x_n перейти к x?
Как использовать определение сходимости и метрики?

[AD]

Так, я неправильно прочитал первую задачу. Ну да ладно.

Теперь запишите, что значит "$d(x_n, y)\to d(x, y)$".

И звено, соединяющее эти два определение, называется "неравенство треугольника". Применить его надо к трем точкам $x$, $x_n$ и $y$.

[Женисбек]

Эйлиринья писал(а):

AD, это значит, что
$\forall(\epsilon>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $d(x_n,x)< \epsilon$
И мне не совсем ясно, как использовать это орпеделение при доказательстве.

Дальше, воспользуйтесь неравенствами
$d(x,y)-d(x_n,x)\le d(x_n,y)\le d(x,y)+d(x_n,x)$,
которые вытекают из определения метрики.

[Эйлиринья]

А вот как раз с этим у меня и проблема. Я не совсем понимаю, что значит:
$d(x_n, y)\to d(x, y)$.
Меня пугает понятие "d от нескольких d".
Распишем это по определению:
$\forall(\epsilon'>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $d(d(x_n,y), d(x, y))< \epsilon'$
По свойству: $d(x_n, y) \le d(x_n, x) + d(x, y).$
Значит, $d(d(x_n,y), d(x, y))$ $\le$ $d(d(x_n, x) + d(x, y), d(x, y))$...
Что-то я совсем запуталась...

[finanzmaster]

Эйлиринья писал(а):

А вот как раз с этим у меня и проблема. Я не совсем понимаю, что значит:
$d(x_n, y)\to d(x, y)$.
Меня пугает понятие "d от нескольких d".

Тут бояться нечего! $d(x, y)$ - это вещественная(!) функция, и значениями ее будут действительные [неотрицательные] числа.
Следовательно, вы можете ввести [пере]обозначения:
$a:=d(x,y)$ и $a_n:=d(x_n,y)$ при этом $a, a_n \in [0, \infty)$.
Тогда и вопрос звучит так: показать что $a_n \to a$ (т.е. что $|a-a_n| \to 0$) при $x_n \to x$.

[Эйлиринья]

Я не могу понять, а как же именно доказать схождение к нулю?

[finanzmaster]

Эйлиринья писал(а):

Я не могу понять, а как же именно доказать схождение к нулю?

Давайте рассмотрим простейший частный случай - пусть наше метрическое пространство будет числовой прямой $\mathbb{R}$ с самым что ни на есть обычнейшим понятием метрики
$d(x,y)=|x-y|$.
Изложите Ваше решение (или хотя бы его попытки) для этого случая.

P.S.
вместо метрики часто говорят "расстояние" (distance), от чего и буква $d$ в обозначении.

[Эйлиринья]

Дано:
$\forall(\epsilon>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $|x_n - x|< \epsilon$

Доказать:
$\forall(\epsilon>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $\left||x_n - y| - |x - y|\right|< \epsilon$

По свойствам метрики:
$ |x_n - y| - |x - y| \le |x - x_n| < \epsilon$.
Что и требовалось=)

Но в общем случае такого не получается, ибо метрика не задана и свойство треугольника прямо так не применишь...
(как я и писала выше)...

[ewert]

Эйлиринья писал(а):

Но в общем случае такого не получается, ибо метрика не задана и свойство треугольника прямо так не применишь...

Что значит "метрика не задана", коли задана буква $d$?...

[Женисбек]

Эйлиринья писал(а):

Но в общем случае такого не получается, ибо метрика не задана и свойство треугольника прямо так не применишь...
(как я и писала выше)...

Смотрите, Эйлиринья, Вы имеете дело с двумя разными вещами:
1) $x_n, x, y$. Для этих "вещей" вы используете вашу заданную по условию метрику $d$.
2) $d(x_n,y), d(x,y)$. Это обычные числа и для них Вы, вообще говоря, не можете использовать $d$ в качестве метрики, т.е. нельзя писать: $d(d(x_n,y), d(x,y))$. Но раз уж это обычные числа, то можно писать: $|d(x_n,y)-d(x,y)|$.

[finanzmaster]

Эйлиринья писал(а):

Дано:
$\forall(\epsilon>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $|x_n - x|< \epsilon$

Доказать:
$\forall(\epsilon>0)$ $\exists(n_0 \in \mathbb{N})$ $\forall(n>n_0)$ $\left||x_n - y| - |x - y|\right|< \epsilon$

Почти правильно сформулировано. Маленькая корректура (обратите внимание на тильды над $n_0$)
\forall(\epsilon>0)$ $\exists(\widetilde{n_0} \in \mathbb{N})$ $\forall(n>\widetilde{n_0})$ $\left||x_n - y| - |x - y|\right|< \epsilon$

Насчет $\epsilon$, Вы понимаете, что оно может быть любым (больше нуля) но берется в самом начале и потом не меняется?
Т.е. выражение "$\forall(\epsilon>0)$" надо читать "для любого наперед заданного и после этого зафиксированного эпсилон большего нуля"

Теперь - в "доказать" эпсилон (и уж тем более n-нулевое) не обязаны быть такими же как и
в "дано".
Тем не менее, мы можем выбирать $\epsilon$ одинаковым и там, и там (подумайте сами, почему). Но $n_0$ и в этом случае не обязано совпадать с $\widetilde{n_0}$

Эйлиринья писал(а):

По свойствам метрики:
$ |x_n - y| - |x - y| \le |x - x_n| < \epsilon$.
Что и требовалось=)

Уж больно Вы кратки - с этим "по свойствам метрики".
И вообще-то требовалось (посмотрите Ваше же "доказать")
$| |x_n - y| - |x - y| | \le |x - x_n| < \epsilon$.
Зря поленились расписать подробно!
Но за Вас я это делать не буду.

Но если Ваш преподаватель это "по свойствам метрики" примет*, то вспомните, что у нас $d(x,y) := |x - y|$ и тогда получается общий случай:
$ |d(x_n, y) - d(x, y)| \le d(x, x_n) < \epsilon$.
Что и требовалось=)
Ведь Вы же сами говорите "по свойствам метрики" (а не по свойствам модуля) - значит никто не мешает вам утверждать, что сие верно для любой [абстрактной] метрики...

*Только вот я боюсь, что все-таки не примет. Так что распишите подробно, как мы приходим к тому, что $| |x_n - y| - |x - y| | \le |x - x_n| < \epsilon$. (подсказка - забудьте [пока что] про абстрактные метрики и опирайтесь на свойства модуля).

[Эйлиринья]

спасибо..)))
Разобралась..))
По свойствам метрике, я имела в виду неравенство треугольника..)
Теперь все понятно..))