Стокс не сходится с ответом

[Oleg-kfm]

$$\oint\limits_{C}(y^2-z^2)dx+(-x^2+z^2)dy+(x^2-y^2)dz$$

$x+y+z=\dfrac{3a}{2}$, $0\le x\le a$, $0\le y\le a$, $0\le z\le a$.

Используя теорему Стокса, получаем:

$$\iint_D ((-2y-2z)\cos\alpha+(-2z-2x)\cos \beta+ (-2x-2y)\cos\gamma) dS=$$

Тут очевидно, что $\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$$=\dfrac{-2}{\sqrt{3}}\iint_D (x+y+z)dS=\dfrac{-2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{3a}{2}\iint_DdS=$$

$$=-\sqrt{3}a}}\iint_D dS=-\sqrt{3}a}}\iint_D\sqrt{3}dxdy=-3a\iint_Sdxdy$=-3a\int_0^adx\int_0^{1,5a-x}dy=-3a^2$$

[Otta]

А в ответе что, $\dfrac 94 a^3$ (плюс-минус - сказать невозможно, ориентация Вами не задана, что уже не есть хорошо)?

[Oleg-kfm]

Otta в сообщении #1265336 писал(а):

А в ответе что, $\dfrac 94 a^3$ (плюс-минус - сказать невозможно, ориентация Вами не задана, что уже не есть хорошо)?

Да, именно так, с плюсом, там сказано, что $C$ - сечение, пробегаемое против часовой стрелки, если смотреть с положительного направление оси $Ox$. Но как такое могло получится? У меня просто неверен переход от двойного интеграла к повторному?

[Otta]

Oleg-kfm в сообщении #1265346 писал(а):

$C$ - сечение, пробегаемое против часовой стрелки, если смотреть с положительного направление оси $Ox$.

Ах, таки сечение. Тогда это разумная постановка. Потому что те ограничения, что у Вас

Oleg-kfm в сообщении #1265324 писал(а):

$x+y+z=\dfrac{3a}{2}$, $0\le x\le a$, $0\le y\le a$, $0\le z\le a$.

контур не задают. Это часть плоскости. И я уж хотела ругать условие. А с условием-то все в порядке. Как Вы себе представляете контур, какой фигурой он является? Постройте аккуратно, должны увидеть.

[Oleg-kfm]

Otta в сообщении #1265351 писал(а):

контур не задают. Это часть плоскости. И я уж хотела ругать условие. А с условием-то все в порядке. Как Вы себе представляете контур, какой фигурой он является? Постройте аккуратно, должны увидеть.

Раньше думал, что треугольник, но видимо, что это не так. Может это пятиугольник?

[Otta]

Oleg-kfm в сообщении #1265355 писал(а):

Раньше думал, что треугольник, но видимо, что это не так. Может это пятиугольник?

Сечение-то чего?

[Oleg-kfm]

Сечение куба. Кстати, а ведь проекцией этого сечения будет квадрат!!! Но тогда верхний предел интегрирования поменяется, но не поменяется ответ (если не считать опечатку, которую допустил, написав $a^2$, вместо $a^3$!

$$-3a\iint_Sdxdy=-3a\int_0^adx\int_0^{a}dy=-3a^3$$

[Otta]

Oleg-kfm в сообщении #1265372 писал(а):

Сечение куба.

Да.

Oleg-kfm в сообщении #1265372 писал(а):

Кстати, а ведь проекцией этого сечения будет квадрат!!!

Нет. Посмотрите или в каких точках ребер куба пересечение с плоскостью, или как эта плоскость пересекается с гранями.

[Oleg-kfm]

Должно быть так?

[Otta]

Если это проекция - то да. Правда, это не самый короткий путь, но всё лучше, чем никакой.

[ewert]

Oleg-kfm в сообщении #1265346 писал(а):

Да, именно так, с плюсом, там сказано, что $C$ - сечение, пробегаемое против часовой стрелки, если смотреть с положительного направление оси $Ox$.

А как направлен Ваш ротор по отношению к положительному направлению оси?