сходимость argmax'ов равномерно сходящейся функциональной по

[Женисбек]

f_n(x)\rightrightarrows f(x),\qquad f_n(x), f(x)\in C^{\infty}[a,b],
\forall n\in\mathbb{N}: \exists !\ x_n^*: x_n^*=Argmax_x\{f_n(x)\},\qquad \exists !\ x^*: x^*=Argmax_x\{f(x)\}
\exists x_0\in[a,b]: f'(x_0) = 0

Можно ли показать, что x_n^*\rightarrow x^*?

[Narn]

А что такое $Argmax$? Точка, в которой достигается максимальное значение?

[Женисбек]

Narn писал(а):

А что такое $Argmax$? Точка, в которой достигается максимальное значение?

да, я это имел ввиду

[Narn]

Тогда надо определиться, что именно Вам надо. $Argmax$ - это замкнутое множество. Или Вы сами ограничиваете условие задачи, и говорите, что все функции имеют только одну точку максимума. Или Вы берете самую левую (правую) из них. Или речь идет о возможности выбора какой-то сходящейся последовательности.

Если брать самую правую точку, то, как мне кажется, можно построить пример, где сходимости не будет, а $f_n$ имеют только одну точку максимума.

[Женисбек]

Narn писал(а):

Тогда надо определиться, что именно Вам надо. $Argmax$ - это замкнутое множество. Или Вы сами ограничиваете условие задачи, и говорите, что все функции имеют только одну точку максимума. Или Вы берете самую левую (правую) из них. Или речь идет о возможности выбора какой-то сходящейся последовательности.

Если брать самую правую точку, то, как мне кажется, можно построить пример, где сходимости не будет, а $f_n$ имеют только одну точку максимума.

Извините за некорректность. Про f_n(x), f(x) известно, что каждая из них имеет только одну точку максимума, более того, {f}_{n}'(x_n^*)=0, f'(x^*)=0

[ewert]

Женисбек писал(а):

f_n(x)\rightrightarrows f(x),\qquad f_n(x), f(x)\in C^{\infty}[a,b],
x_n^*=Argmax_x\{f_n(x)\},\qquad x^*=Argmax_x\{f(x)\}
\exists x_0\in[a,b]: f'(x_0) = 0

Можно ли показать, что x_n^*\rightarrow x^*?

Да скорее всего, нельзя. С какой стати? В конце концов, те самые эф энные могут стремиться к константе -- например, снизу. И с какого бодуна их точки максимума будут стремиться хоть к чему-нибуль?

[Narn]

Тогда все просто. Сходимость есть, и с дифференцируемостью это никак не связано. Доказывайте от противного: воспользовавшись компактностью области определения, выделите из $x_n^*$ подпоследовательность, сходящуюся не к $x^*$.

[Женисбек]

Narn писал(а):

Тогда все просто. Сходимость есть, и с дифференцируемостью это никак не связано. Доказывайте от противного: воспользовавшись компактностью области определения, выделите из $x_n^*$ подпоследовательность, сходящуюся не к $x^*$.

О, спасибо!
Вначале покажем сходимость максимумов $f_n(x)$ к максимуму $f(x)$:
$\max_x\{f_n(x)\}-\max_x\{f(x)\}=\max_x\{f_n(x)-f(x)+f(x)\}-\max_x\{f(x)\}\le\max_x\{f_n(x)-f(x)\}\rightarrow 0\qquad\text{(в силу равномерной сходимости)}$
Аналогично,
$\max_x\{f(x)\}-\max_x\{f_n(x)\}\le\max_x\{f(x)-f_n(x)\}\rightarrow 0$.
Следовательно,
$\max_x\{f_n(x)\}\rightarrow\max_x\{f(x)\}\Leftrightarrow f_n(x_n^*)\rightarrow f(x^*)$

Далее, допуская противное и пользуясь, как вы сказали компактностью области определения, выделяем подпоследовательность $x_{k_n}^*:\ x_{k_n}^*\rightarrow y^*\ne x^*$, и, в силу непрерывности $f(x)$, имеем
$f(x_{k_n}^*)\rightarrow f(y^*)$,
и, в силу равномерной сходимости $f_n(x)$ к $f(x)$,
$f_{k_n}(x_{k_n}^*)=f(x_{k_n}^*)+o(1)\rightarrow f(y^*) \ne f(x^*)$, что противоречит сходимости максимумов.

Или можно было как-то проще?

[Narn]

Для всех $x \ne x^*$ $f(x) < f(x^*)$. Пусть $x_n_k \to y^* \ne x^*$. $f_n_k(x^*)<f_n_k(x_n_k)$, при $k \to \infty$ получим $f(x^*) \le f(y^*)$.

[ewert]

Так, а нельзя ли по простому.

Вроде как утверждается, что существует последовательность точек максимума тех функций, которая (последовательность) хоть к чему-то сходится.

Это -- правильная интерпретация?

[Женисбек]

Narn писал(а):

Для всех $x \ne x^*$ $f(x) < f(x^*)$. Пусть $x_n_k \to y^* \ne x^*$. $f_n_k(x^*)<f_n_k(x_n_k)$, при $k \to \infty$ получим $f(x^*) \le f(y^*)$.

О, вообще красота!

[Narn]

ewert:

Последовательность точек максимума дана по условию. Она должна сходиться не хоть к чему-то, а к точке максимума предельной функции.

[Женисбек]

ewert писал(а):

Так, а нельзя ли по простому.

Вроде как утверждается, что существует последовательность точек максимума тех функций, которая (последовательность) хоть к чему-то сходится.

Это -- правильная интерпретация?

Спасибо за быстрый ответ. Утверждается, что если функциональная посл-сть сходится, и каждая функция имеет единственную точку максимума, то последовательность точек максимума сходится к точке максимума предельной функции.

[ewert]

Женисбек писал(а):

Утверждается, что если функциональная посл-сть сходится, и каждая функция имеет единственную точку максимума, то последовательность точек максимума сходится к точке максимума предельной функции.

Ну дык и вроде как нет. Возьмите любую последовательность функций, сходящуюся к константе снизу, например. И с какой стати их точки максимума будут сходиться хоть к чему-то?

[Narn]

Женисбек писал(а):

Про f_n(x), f(x) известно, что каждая из них имеет только одну точку максимума