Аналог НОД для свертки/матрицы

[Timur66]

В обычных числах если у меня есть два числа и каждое из них есть $x \cdot a$ и $y \cdot a$, то методом поиска НОД можно найти $a$ и затем $x$ и $y$.
Теперь, $a$, $x$, $y$ это импульсные характеристики различных линейных дискретных систем и связаны уже не просто умножением, а сверткой $H1=x*a$ и $H2=y*a$. Есть ли возможность зная $H1$ и $H2$, в общих условиях, когда длины $x$ и $y$ могут быть разными, вычислить общую импульсную характеристику $a$? То есть в качестве исходных данных у нас есть $H1$ и $H2$ и есть знание, что в их "состав" входит одинаковая ИХ $a$ и далее надо вычислить ИХ $x$ и $y$.

[worm2]

У целых чисел есть однозначность разложения на множители (основная теорема арифметики).
В случае функций (свёртка там или умножение — не особо важно) ничего похожего нету. Одна и та же $H1$ может быть получена как свёртка $x*a$, а может быть как свёртка $z*c$, и ещё бесконечное число других вариантов. Непонятно, как мы можем отдать предпочтение какому-то одному варианту.

[Timur66]

Если я правильно понимаю, то по крайне мере при умножении вопрос то должен решаться - поточечно, в каждой точке $H1$ и $H2$ ищем НОД и затем последовательность этих НОДов и будет искомая $a$.

[svv]

Timur66 в сообщении #1264313 писал(а):

будет искомая $a$

Вы же сами сказали, что там свёртка. Одно значение $H_1$ зависит от многих значений $a$.

Ваш вопрос имеет некоторый смысл, но такое разложение возможно лишь «с точностью до» при разных дополнительных предположениях. Например, если умножить $a$ на ненулевую константу, а $x$ и $y$ разделить на ту же константу, $H_1$ и $H_2$ не изменятся. Аналогично, если на выходе системы $A$ поставить интегрирующее устройство, а на входе $X$ и $Y$ дифференцирующее, Вы этого не заметите.

[Timur66]

Цитата:

Вы же сами сказали, что там свёртка. Одно значение $H_1$ зависит от многих значений $a$

Это я в ответ на

Цитата:

свёртка там или умножение — не особо важно

Цитата:

такое разложение возможно лишь «с точностью до» при разных дополнительных предположениях

на этапе понимания механизма такого разложения точность, предположения не так важно, пусть будут ограничения, лишь бы сам подход понять и впростой ситуации пощупать, хотя в дальнейшем конечно возможные разные неизвестные масштабирующие коэффициенты могут все испортить.

[svv]

Давайте, как я это уже делал в предыдущем сообщении, сами линейные системы обозначать $A$, $X$ и $Y$. Соединим выход $A$ со входом $X$, получим систему $H_1$. Соединим выход $A$ со входом $Y$, получим $H_2$.
Для обеих систем $H_1, H_2$ записываем передаточную функцию в виде
$W(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}=c\frac{(s-p_1)\ldots(s-p_m)}{(s-q_1)\ldots(s-q_n)}$,
где $s=i\omega$, $p_1,\ldots,p_m$ — корни числителя («нули»), $q_1,\ldots,q_n$ — корни знаменателя («полюсы»).

Мы надеемся, что в таком виде у передаточных функций $H_1$ и $H_2$ есть общая часть — несколько множителей вида $(s-p_i)$ в числителе и несколько множителей вида $(s-q_i)$ в знаменателе. Тогда эту общую часть можно отнести к передаточной функции системы $A$, а всё, что отличается, отнести к передаточным функциям $X$ и $Y$ (как Вы знаете, при последовательном соединении передаточные функции перемножаются).

Конечно, не исключены случайные совпадения:
$\bullet$ у передаточных функций систем $X$ и $Y$ случайно есть общие множители, и к системе $A$ они не относятся;
$\bullet$ полюсу $A$ случайно соответствует нуль $X$ и $Y$ (как в моём примере с интегрированием и дифференцированием), либо наоборот; соответствующие множители при перемножении функций сокращаются и в передаточные функции $H_1$ и $H_2$ вообще не входят; установить их присутствие в «промежуточных» системах, зная только $W_{H1}, W_{H2}$, невозможно.
Такие варианты мы игнорируем.

[Timur66]

svv

Спасибо, попробую помоделировать.

[Евгений Машеров]

svv в сообщении #1264324 писал(а):

Вы же сами сказали, что там свёртка. Одно значение $H_1$ зависит от многих значений $a$.

Ну, можно и отфурьячить. Тогда свёртка превратится в произведение образов. Остальные проблемы, увы, останутся.