Набор троек для семиэлементного множества

[Ktina]

Дано 7-элементное множество $A$. Придумайте набор троек элементов $A$ такой, что любая пара элементов $A$ принадлежит ровно одной тройке набора.

Я так понимаю, что если элемент в паре с самим собой, то это парой не считается?

Вот от балды подобранный набор:

$$\{(1, 2, 3), (1, 4, 5), (1, 6, 7), (2, 4, 6), (2, 5, 7), (3, 4, 7), (3, 5, 6)\}$$

Как узнать, сколько всего таких наборов?
Пожалуйста, помогите решить.

[gris]

Всего пар 21 штука. Каждая пара входит ровно в 5 троек. Троек 35 штук. В наборе должно быть семь троек. Поскольку Ваш набор удовлетворителен, то делая замену третьего элемента в первой тройке, можно получить различных пять наборов. Это, если первая тройка полностью определяет набор. А она не определяет. Можно, например, оставить первую тройку, а поменять элементы, в неё не входящие. Так что много наборов. Ну разве вам пять мало? Различие, конечно, с точностью до перестановок троек и элементов в тройках.
Вот, например:

$$\{(5, 6, 7), (3, 4, 7), (1, 2, 7), (2, 4, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 3, 5)\}$$

$$\{(5, 6, 7), (1, 4, 7), (2,3, 7), (2, 4, 6), (1, 3, 6), (3, 4, 5), (1, 2, 5)\}$$

[VAL]

Такой набор ровно один.
В том смысле, что для 7-элементного множества все системы троек Штейнера (а речь идет именно о них) эквивалентны. В частности, изоморфны определяемые системами троек квазигруппы.
Две системы, не являющиеся эквивалентными, впервые возникают для 13-элементного множества.
В общем случае задача подсчета количества неэквивалентных систем троек Штейнера очень трудна.

Подробности можно найти в книжке М. Холла "Комбинаторика" в разделе "Системы троек".

-- 11 ноя 2017, 12:40 --

Если же считать эквивалентные, но не совпадающие поэлементно тройки различными, то ответ - 30.

(Вот они)

{{{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 6, 7}, {2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {3, 4, 7}, {3, 5, 6}},
{{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 6, 7}, {2, 4, 7}, {2, 5, 6}, {3, 4, 6}, {3, 5, 7}},
{{1, 2, 3}, {1, 4, 6}, {1, 5, 7}, {2, 4, 5}, {2, 6, 7}, {3, 4, 7}, {3, 5, 6}},
{{1, 2, 3}, {1, 4, 6}, {1, 5, 7}, {2, 4, 7}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 6, 7}},
{{1, 2, 3}, {1, 4, 7}, {1, 5, 6}, {2, 4, 5}, {2, 6, 7}, {3, 4, 6}, {3, 5, 7}},
{{1, 2, 3}, {1, 4, 7}, {1, 5, 6}, {2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {3, 4, 5}, {3, 6, 7}},
{{1, 2, 4}, {1, 3, 5}, {1, 6, 7}, {2, 3, 6}, {2, 5, 7}, {3, 4, 7}, {4, 5, 6}},
{{1, 2, 4}, {1, 3, 5}, {1, 6, 7}, {2, 3, 7}, {2, 5, 6}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7}},
{{1, 2, 4}, {1, 3, 6}, {1, 5, 7}, {2, 3, 5}, {2, 6, 7}, {3, 4, 7}, {4, 5, 6}},
{{1, 2, 4}, {1, 3, 6}, {1, 5, 7}, {2, 3, 7}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {4, 6, 7}},
{{1, 2, 4}, {1, 3, 7}, {1, 5, 6}, {2, 3, 5}, {2, 6, 7}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7}},
{{1, 2, 4}, {1, 3, 7}, {1, 5, 6}, {2, 3, 6}, {2, 5, 7}, {3, 4, 5}, {4, 6, 7}},
{{1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 6, 7}, {2, 3, 6}, {2, 4, 7}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}},
{{1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 6, 7}, {2, 3, 7}, {2, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 7}},
{{1, 2, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 7}, {2, 3, 4}, {2, 6, 7}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}},
{{1, 2, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 7}, {2, 3, 7}, {2, 4, 6}, {3, 4, 5}, {5, 6, 7}},
{{1, 2, 5}, {1, 3, 7}, {1, 4, 6}, {2, 3, 4}, {2, 6, 7}, {3, 5, 6}, {4, 5, 7}},
{{1, 2, 5}, {1, 3, 7}, {1, 4, 6}, {2, 3, 6}, {2, 4, 7}, {3, 4, 5}, {5, 6, 7}},
{{1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 5, 7}, {2, 3, 5}, {2, 4, 7}, {3, 6, 7}, {4, 5, 6}},
{{1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 5, 7}, {2, 3, 7}, {2, 4, 5}, {3, 5, 6}, {4, 6, 7}},
{{1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 4, 7}, {2, 3, 4}, {2, 5, 7}, {3, 6, 7}, {4, 5, 6}},
{{1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 4, 7}, {2, 3, 7}, {2, 4, 5}, {3, 4, 6}, {5, 6, 7}},
{{1, 2, 6}, {1, 3, 7}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 5, 7}, {3, 5, 6}, {4, 6, 7}},
{{1, 2, 6}, {1, 3, 7}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5}, {2, 4, 7}, {3, 4, 6}, {5, 6, 7}},
{{1, 2, 7}, {1, 3, 4}, {1, 5, 6}, {2, 3, 5}, {2, 4, 6}, {3, 6, 7}, {4, 5, 7}},
{{1, 2, 7}, {1, 3, 4}, {1, 5, 6}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {3, 5, 7}, {4, 6, 7}},
{{1, 2, 7}, {1, 3, 5}, {1, 4, 6}, {2, 3, 4}, {2, 5, 6}, {3, 6, 7}, {4, 5, 7}},
{{1, 2, 7}, {1, 3, 5}, {1, 4, 6}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {3, 4, 7}, {5, 6, 7}},
{{1, 2, 7}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 5, 6}, {3, 5, 7}, {4, 6, 7}},
{{1, 2, 7}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5}, {2, 4, 6}, {3, 4, 7}, {5, 6, 7}}}