Кванторы существования и всеобщности

[Ivan_B]

Пожалуйста, проверьте следующие утверждения на соответствие действительности:
Применение $\forall$ или $\exists$ к некоторому высказыванию означает:
- определение истинности высказывания для каждого элемента некоторой "сущности", которая содержит в себе "все"(все что я знаю про эту "сущность", это то, что это не множество)
- применение $\wedge$, в случае $\forall$, и $\vee$, в случае $\exists$, к результатам.

Интуитивно "$A$ влечет $B$" подразумевает, что это происходит всегда, нельзя сказать, что "$A$ иногда влечет за собой $B$". Поэтому применение квантора существования к высказыванию "$A$ влечет $B$" бессмысленно. Высказывание "$A$ влечет $B$" представляет собой интерес только если посылка истинна, если же посылка ложна, использовать высказывание не получится. Для того, чтобы сделать возможным применение квантора всеобщности к утверждению вида "$A$ влечет $B$", импликацию определили так, чтобы она не влияла на результат в "нелогичных" случаях и совпадала с интуитивным представлением об утверждении "$A$ влечет $B$".

[arseniiv]

Это выглядит как каша, в которой категорически не стоит пытаться искать здравое зерно. А вот формализация могла бы её исправить.

Во-первых, есть синтаксис, диктующий, какие конструкции считаются высказываниями и, в частности, если $v$ — переменная и $\varphi$ — высказывание (в матлогике говорят «формула»), то $\exists v\varphi, \forall v\varphi$ — высказывания без всяких исключений, и не важно, входит ли в них $v$ (точнее, есть ли там свободные вхождения $v$). Во-вторых, есть семантика, способ сопоставления высказываниям каких-то «значений», и описывается она также формально, без всяких сущностей и происхождения всегда. Хотя можно понадеяться, что аккуратное неформальное описание в данном случае сгодится:

• В случае классической логики импликации $\varphi\to\psi$ считается истинной во всех случаях кроме того, когда $\varphi$ истинна и $\psi$ ложна, и никакого «всегда» — если значения $\varphi$ или $\psi$ зависят от значений каких-то переменных, значение импликации тоже будет.
• Формула $\forall v\varphi$ считается истинной, если при любом значении $v$ формула $\varphi$ истинна (причём, если вдруг это непрозрачно, если значение $\varphi$ зависит от значений переменных из множества $V$, то значение $\forall v\varphi$ зависит от значений переменных из $V\setminus\{v\}$), и в противном случае ложной.
• Формула $\exists v\varphi$ считается ложной, если при любом значении $v$ формула $\varphi$ ложна, и в противном случае истинной (наблюдение о зависимости тут аналогичное). Итого, мы можем навесить квантор по переменной на формулу, значение которой не зависит от этой переменной — это просто ничего не изменит семантически, вот и всё.

Значение импликации определено так, как это делается, независимо от определений значения кванторных формул — в логике высказываний последних нет, а импликация есть. Просто если определить её значения иначе, получится не то — то конъюнкция (коммутативная), то эквивалентность (коммутативная), то что-то совсем далёкое. Тем о том, почему импликация такая, какая есть, на этом форуме было несколько (кажется, их все слили в одну), попробуйте поискать по очевидным ключевым словам.

Надеюсь, неформальное описание не повредило.

-- Пт ноя 10, 2017 18:48:04 --

Скажите, где комментарий что-нибудь сделал понятным, и что остаётся неясным. С исходной формулировкой вряд ли кто-то захочет работать.

[Ivan_B]

arseniiv в сообщении #1264072 писал(а):

$\varphi$ — высказывание (в матлогике говорят «формула»)

Можно ли сказать, что $\varphi$ функция $v$?

Если нет, то я залез в дебри в которые мне лезть рано(я сейчас нахожусь в самом начале Зорича) - все равно ничего не пойму. Просто Ваше время впустую потрачу... Так что вопрос снят.

Если да, то:

Какая у нее область определения?

arseniiv в сообщении #1264072 писал(а):

Формула $\forall v\varphi$ считается истинной, если при любом значении $v$ формула $\varphi$ истинна

Можно ли сказать, что $\forall v\varphi$ сокращенная запись, которая означает конъюнкцию всех значений, которые принимает $\varphi$ при всевозможных значениях $v$?

arseniiv в сообщении #1264072 писал(а):

$\exists v\varphi, \forall v\varphi$ — высказывания без всяких исключений, и не важно, входит ли в них $v$

Какие значения может принимать $v$? На нее не наложено никаких ограничений, значит она может быть чем угодно?

arseniiv в сообщении #1264072 писал(а):

С исходной формулировкой вряд ли кто-то захочет работать

Спасибо за Ваше описание. Теперь я могу на него ссылаться и задавать вопросы уже по нему.

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1264090 писал(а):

Можно ли сказать, что $\varphi$ функция $v$?

Нет. А вот значение формулы является функцией значений всевозможных переменных. Конкретнее, рассматриваются оценки — функции из множества переменных в множество их возможных значений; значение формулы или терма тогда — функция оценки.

Ivan_B в сообщении #1264090 писал(а):

Можно ли сказать, что $\forall v\varphi$ сокращенная запись, которая означает конъюнкцию всех значений, которые принимает $\varphi$ при всевозможных значениях $v$?

Тут надо уточнить, что есть конъюнкция формул, сама являющаяся формулой, и есть конъюнкция логических значений, результат которой тоже логическое значение. Если говорить о второй, то да, если аккуратно всё определить. Если о первой, нет, потому что, как минимум, бесконечные формулы обычно не рассматриваются.

Ivan_B в сообщении #1264090 писал(а):

Какие значения может принимать $v$? На нее не наложено никаких ограничений, значит она может быть чем угодно?

Если пытаться устоять на лезвии неформального рассмотрения, то всё, что рассматривается теорией, из которой взято интересующее высказывание с переменной. Раз контекст здесь Зорич, можете считать, что это всевозможные числа, множества и прочие объекты рассмотрения анализа. Дальше там должны появиться ограниченные кванторы, которые упрощают дело: можно рассматривать только элементы какого-то одного множества.

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1264049 писал(а):

Высказывание "$A$ влечет $B$" представляет собой интерес только если посылка истинна, если же посылка ложна, использовать высказывание не получится.

Очень даже получится, причём полезно. Например, утверждение о том, что пустое множество одновременно замкнуто и открыто, истинно именно благодаря ложности посылок.

[Ivan_B]

arseniiv
Спасибо за ваши ответы - это то, что мне было нужно.

ewert в сообщении #1264107 писал(а):

Очень даже получится, причём полезно. Например, утверждение о том, что пустое множество одновременно замкнуто и открыто, истинно именно благодаря ложности посылок.

Могли бы Вы объяснить это подробней.
Я видел только такие определения открытого и замкнутого множества:
Точка $a\in R$ называется предельной точкой множества $A \subset R$, если для любой окрестности $O(a)$ точки $a$ $\mathring{O}(a) \bigcap A \neq \varnothing$
Точка $a\in R$ называется внутренней точкой множества $A \subset R$, если существует окрестность $O(a)$ точки $a$ такая, что $O(a) \subset A$
Множество называется открытым, если все его точки внутренние.
Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Я себе это представляю как множество интервалов (открытое) и множество отрезков (замкнутое). В пустом же множестве точек нет, и определения как бы не работают.

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1264146 писал(а):

Могли бы Вы объяснить это подробней.

Мог бы. Например:

Ivan_B в сообщении #1264146 писал(а):

Точка $a\in R$ называется внутренней точкой множества $A \subset R$, если существует окрестность $O(a)$ точки $a$ такая, что $O(a) \subset A$

Это неправильный перевод стрелок. В оригинале ведь речь шла не об внутренностях, а об открытостях. Т.е. о том, что любая точка является внутренней.

Так вот, в переводе с птичьего языка на нормальный это означает: из принадлежности точки множеству следует существование такой окрестности, что и т.д. Так вот: поскольку посылка о принадлежности точки множеству ложна, то из неё и следует всё что угодно. В т.ч. и существование каких угодно окрестностей чего бы то ни было. Т.е. открытость.

С замкнутостью -- примерно аналогично.

-- Пт ноя 10, 2017 22:11:33 --

Ivan_B в сообщении #1264146 писал(а):

Я себе это представляю как множество интервалов (открытое) и множество отрезков (замкнутое).

Кстати, полезно иметь при себе, что если первое в известном смысле верно ("не более чем счётное объединение интервалов"), то второе -- формально не верно ни в каком смысле.

[Ivan_B]

ewert в сообщении #1264158 писал(а):

из принадлежности точки множеству следует существование такой окрестности, что и т.д. Так вот: поскольку посылка о принадлежности точки множеству ложна, то из неё и следует всё что угодно. В т.ч. и существование каких угодно окрестностей чего бы то ни было. Т.е. открытость.

Понять не получилось. Я уперся в следующее противоречие:
Рассмотрим подмножества множества целых чисел. Те из них, которые содержат числа кратные пяти, отнесем к специальному виду множеств $A$ (чтобы говорить не об открытых множествах, а о чем-нибудь более для меня доступном)
Из принадлежности числа $5$ множесву следует то, что оно содержит числа кратные пяти. То есть относится к специальному виду множеств $A$.
Рассмотрим множество $X=\left\{1, 2, 3\right\}$. Посылка о том, что оно содержит число 5 ложная, поэтому из нее следует все что угодно, в том числе и принадлежность множеству чисел кратных $5$, то есть принадлежность к специальному виду множеств $A$.

ewert в сообщении #1264158 писал(а):

Кстати, полезно иметь при себе, что если первое в известном смысле верно ("не более чем счётное объединение интервалов"), то второе -- формально не верно ни в каком смысле.

Тут тоже ничего придумать не получилось: единственное, что пришло в голову - это что в замкнутом множестве кроме отрезков могут быть изолированные точки.

[iifat]

Путаете формулы и правила рассуждения. То, к которому вы пытаетесь прибегнуть, называется modus ponens: $A\to B,A\vdash B$ Однако в вашем случае $A\to B,\neg A$, откуда не следует ничего.

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1264146 писал(а):

Я себе это представляю как множество интервалов (открытое) и множество отрезков (замкнутое). В пустом же множестве точек нет, и определения как бы не работают.

Тут Вы либо плохо понимаете, либо плохо говорите (поэтому Вас поправили выше). Интервал -- открытое множество. А множество интервалов -- это нужно ещё понять что такое и где оно находится. Множество интервалов (или отрезков) не есть подмножество прямой (если мы говорим о прямой).

[Ivan_B]

iifat в сообщении #1264291 писал(а):

Путаете формулы и правила рассуждения

В этой теме я узнал, что есть "формулы " и "правила рассуждения", но что это я не знаю.
Скажите, пожалуйста, к чему это относится, как называется и после чего это обычно изучают.

grizzly в сообщении #1264344 писал(а):

Тут Вы либо плохо понимаете, либо плохо говорите (поэтому Вас поправили выше). Интервал -- открытое множество. А множество интервалов -- это нужно ещё понять что такое и где оно находится. Множество интервалов (или отрезков) не есть подмножество прямой (если мы говорим о прямой).

Спасибо, теперь понял. Я написал бессмыслицу. Я имел в виду множество точек прямой, как $(1,3) \cup (5,8)$

Огромное спасибо всем за Ваши ответы!

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1264355 писал(а):

Скажите, пожалуйста, к чему это относится, как называется и после чего это обычно изучают.

Вообще в полной детализации это относится к матлогике, но неверно, что её стоит изучать перед всем остальным или даже что её необходимо или достаточно изучать для понимания математики — она просто рассматривает логику, используемую математиками, математически (о достаточности: да, если разобраться с ней, то всё должно быть неплохо, но если с неформальной логикой не очень, с её формализацией будет разобраться как раз трудно). О введении в матлогику — и ради остальной математики, а не матлогики — как отдельной книжке я лично пока не слышал.

Ivan_B в сообщении #1264355 писал(а):

В этой теме я узнал, что есть "формулы " и "правила рассуждения", но что это я не знаю.

Как я уже говорил, формулы — это формализация высказываний. Правила вывода — это формализация методов рассуждения, которыми одни высказывания выводятся из других в доказательстве.

[ewert]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1264344 писал(а):

А множество интервалов -- это нужно ещё понять что такое и где оно находится

Кстати, что любопытно. Если вместо "множество интервалов" сказать "набор интервалов", то это будет уже более-менее приемлемо. Поскольку хотя "набор" -- это, строго говоря, синоним множества, но говоря на жаргоне -- под этим можно понимать и объединение. "Велик могучих русский языка" (с).

[kernel1983]

iifat в сообщении #1264291 писал(а):

Однако в вашем случае $A\to B,\neg A$, откуда не следует ничего

Например, следует $A \to \neg B$.

[iifat]

kernel1983 в сообщении #1264928 писал(а):

Например, следует

Выводом не побалуете?