Такой вот куб

[Ktina]

Существует ли куб натурального числа, большего 2, у которого и сумма цифр, и произведение цифр - тоже кубы натуральных чисел?
(число 0 натуральным не является)

[gris]

Просто надуло в голову: $81$ — четвёртая степень простого числа; $8+1=9$ — квадрат простого числа; $8\cdot1=8$ — куб простого числа.
Это я хотел уточнить, сумма и произведение цифер чего: самого числа или его куба?
А то некто может дать ответ: $999$. Число удовлетворяет. Куб этого числа существует.

[Dmitriy40]

Да, существует, например минимальное:
$x=3409: x^3=39616946929, \sum\limits_\mathrm{digits}x^3=64=4^3, \prod\limits_\mathrm{digits}x^3=34012224=324^3$.
Дальше: $5332, 8236$, потом ещё 31 число до ста тысяч, потом ещё 39 чисел до миллиона, потом ещё 205 чисел до 10 миллионов, потом ещё 7066 чисел до ста миллионов, потом ещё 58478 чисел до миллиарда, ну и т.д.
Первое число с суммой цифр больше $64: 1059689$, последнее с суммой цифр $64: 12452881$. С меньшими суммами цифр чисел не найдено. Как и пока не встретилось числа с суммой больше $125$.
Судя по визуальному отсутствию красивых регулярных последовательностей цифр в кубах, не представляю как это решить без перебора.

PS. Ах да, программу, ну она как обычно из одной строчки на PARI/GP, тупо и прямо, без изысков:

for(i=3,10000,x=sumdigits(i^3);if(ispower(x,3),d=digits(i^3);y=prod(k=1,#d,d[k]);if(y>0&&ispower(y,3),print(i,"^3=",i^3,":",x,",",y))))
3409^3=39616946929:64,34012224
5332^3=151589954368:64,46656000
8236^3=558661848256:64,110592000

[gris]

Ну кое-какие рассуждения можно провести. Я отталкивался от произведения цифр.
Если произведение нескольких ненулевых цифр есть куб, то к ним можно безболезненно добавить несколько единичек, чтобы добить сумму цифр до какого-нибудь куба. А потом перемешивая произвольно эти цифры получать числа и проверять их на кубизм.
Например, $1,11111111,11...111$ — числа, которые удовлетворяют условию. Но может ли куб состоять из одних единиц (кроме одной).
Далее восемь. $222, 24, 8$ и единички. Вот бы сконструировать некоторое число и доказать, что оно куб. Но как-то не получилось

[Dmitriy40]

Я тоже с этого начал. И тоже с простыми случаями не получилось. А сложные запаришься анализировать/перебирать. Нужна какая-то дополнительная мысль по организации такого числа. Идея-то очевидно правильная.

-- 09.11.2017, 15:42 --

Проверил числа из одних единиц с количеством равным кубу целого числа, ни одно из них до миллиона единиц не является кубом.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1263791 писал(а):

Да, существует, например минимальное:
$x=3409: x^3=39616946929, \sum\limits_\mathrm{digits}x^3=64=4^3, \prod\limits_\mathrm{digits}x^3=34012224=324^3$.
Дальше: $5332, 8236$, потом ещё 31 число до ста тысяч, потом ещё 39 чисел до миллиона, потом ещё 205 чисел до 10 миллионов, потом ещё 7066 чисел до ста миллионов, потом ещё 58478 чисел до миллиарда, ну и т.д.
Первое число с суммой цифр больше $64: 1059689$, последнее с суммой цифр $64: 12452881$. С меньшими суммами цифр чисел не найдено. Как и пока не встретилось числа с суммой больше $125$.
Судя по визуальному отсутствию красивых регулярных последовательностей цифр в кубах, не представляю как это решить без перебора.

PS. Ах да, программу, ну она как обычно из одной строчки на PARI/GP, тупо и прямо, без изысков:

for(i=3,10000,x=sumdigits(i^3);if(ispower(x,3),d=digits(i^3);y=prod(k=1,#d,d[k]);if(y>0&&ispower(y,3),print(i,"^3=",i^3,":",x,",",y))))
3409^3=39616946929:64,34012224
5332^3=151589954368:64,46656000
8236^3=558661848256:64,110592000

Большое спасибо!

-- 09.11.2017, 15:51 --

gris в сообщении #1263785 писал(а):

Просто надуло в голову: $81$ — четвёртая степень простого числа; $8+1=9$ — квадрат простого числа; $8\cdot1=8$ — куб простого числа.
Это я хотел уточнить, сумма и произведение цифер чего: самого числа или его куба?
А то некто может дать ответ: $999$. Число удовлетворяет. Куб этого числа существует.

Вы правы, моя формулировка условия задачи оставляет желать лучшего. Разумеется, имелся в виду именно куб числа, иначе подошёл бы куб числа 8, о чём Вы и упомянули.

[gris]

Забавное наблюдение. Для таких вот квадратов найти соответствующие решения довольно просто. Кроме однозначных $1,4,9$ почти сразу получаем $144$ и $441$ из одного набора цифр $[1,4,4]$. Причём первое число даже равно произведению суммы и произведения цифр: $12^2=3^2\cdot 4^2$

[Ktina]

gris в сообщении #1263874 писал(а):

Забавное наблюдение. Для таких вот квадратов найти соответствующие решения довольно просто. Кроме однозначных $1,4,9$ почти сразу получаем $144$ и $441$ из одного набора цифр $[1,4,4]$. Причём первое число даже равно произведению суммы и произведения цифр: $12^2=3^2\cdot 4^2$

Осталось для более высоких степеней попробовать

[gris]

Для более высоких степеней можно посмотреть, слегка поковырявшись шаловливыми ручонками в коде любезного по умолчанию Dmitriy40
Для таких вот четвёртых и пятых степеней есть обозримые примерчики, а для шестой уже нету в пределах ктиналлиона.
Я думаю, что засада тут не том, что ВТФ мешает, а просто получить степень без нуля в цифрах непропорционально маловероятно.

[grizzly]

gris в сообщении #1263960 писал(а):

Я думаю, что засада тут не том, что ВТФ мешает, а просто получить степень без нуля в цифрах непропорционально маловероятно.

Эту гипотезу легко проверить. Достаточно посмотреть, что получается, если использовать произведение ненулевых цифр (это общепринятая постановка для подобных задач).

[gris]

grizzly, то есть достаточно произведение всех цифр, если оно равно нулю, поделить на ноль? (Это шутка была) И правда, что-то такое вырисовывается.
Для таких вот квадратов cотенка вставилась и можно уже посмотреть последовательность $1,4,9,100,144...$
И её там есть: A061869! Равно, как и с учётом нулей A061267

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1263980 писал(а):

Достаточно посмотреть, что получается, если использовать произведение ненулевых цифр (это общепринятая постановка для подобных задач).

Получается уже не так интересно, для кубов вместо трёх решений до 10 тысяч их целая куча, причём некоторые тривиальные:

1^3=1:1,1
2^3=8:8,8
10^3=1000:1,1
20^3=8000:8,8
100^3=1000000:1,1
200^3=8000000:8,8
888^3=700227072:27,2744
1000^3=1000000000:1,1
1011^3=1033364331:27,5832
1101^3=1334633301:27,5832
1674^3=4691010024:27,1728
2000^3=8000000000:8,8
3409^3=39616946929:64,34012224
5332^3=151589954368:64,46656000
8236^3=558661848256:64,110592000
8602^3=636499863208:64,80621568
8880^3=700227072000:27,2744
10000^3=1000000000000:1,1

-- 10.11.2017, 13:35 --

Можно наложить дополнительное условие "число кончается не на цифру $0$" - уберутся тривиальные решения и вообще решения станут более уникальными. Но всё равно намного больше чем без нулей: до ста миллионов $34239$ решений вместо $7344$ как было.

[grizzly]

gris, Dmitriy40
Я имел в виду вот этот контекст:

gris в сообщении #1263960 писал(а):

для шестой уже нету в пределах ктиналлиона.

А именно: если не найдутся числа, имеющие хотя бы 2 различные цифры с нужным условием, то я не соглашусь с гипотезой gris.

[Dmitriy40]

gris в сообщении #1263960 писал(а):

Для таких вот четвёртых и пятых степеней есть обозримые примерчики, а для шестой уже нету в пределах ктиналлиона.
Я думаю, что засада тут не том, что ВТФ мешает, а просто получить степень без нуля в цифрах непропорционально маловероятно.

Не, я думаю тут мешают даже не нули в степени числа (без них решений тоже нет), а слишком медленный рост суммы цифр. Для шестой степени получить сумму цифр в $64=2^6$ ещё можно (хотя до ста миллионов решений нет даже с пропуском нулей, непонятно почему), а вот уже $729=3^6$ сложно, надо не менее $81$ цифры, а скорее даже за $100$. Т.е. исходное число должно иметь не менее $14$ знаков, а скорее $16..17$.
Для ещё высших степеней ситуация ещё хуже.

-- 10.11.2017, 15:21 --

Да и для 5-й степени не так уж всё хорошо, минимальное решение аж за 70 миллионов:

70043997^5=1685988483598984792934475962865647819757:243,201356263103327232432537600000

Причём меньшего нет даже с пропуском нулей.

Приведу заодно и два минимальных решения для 4-й степени (с нулями и бех них):

17781^4=99959650235209521:81,5314410000
46416^4=4641633499322843136:81,34828517376

-- 10.11.2017, 15:27 --

И ещё странно что не встречается сумма цифр $2^n$, за исключением $8=2^3$ для куба. Т.е. минимальное решение для шестой степени вполне вероятно имеет не менее $14..17$ цифр.

[Ktina]

gris в сообщении #1263960 писал(а):

Я думаю, что засада тут не том, что ВТФ мешает, ...

Каким образом она могла бы помешать?