Вычисление известных интегралов через вычеты

[Brukvalub]

ewert писал(а):

На самом деле указал: если выписына бесконечные пределы, то автоматически подразумевается, что интеграл берётся именно по соответствующей оси.

И буковку x при этом обязательно заменяют на традиционное обозначение комплексной переменной z ?

[Draeden]

ewert, я знаю только случай, когда контур не проходит через особые точки.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

И буковку x при этом обязательно заменяют на традиционное обозначение комплексной переменной z ?

А буковки всегда выбирают исключительно по вкусу. Вспомните хоть формулу Меллина (обратное преобразование Лапласа). Её, по-моему, всегда записывают так:

$$ f(t)={1\over2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)\,e^{pt}\,dp.$$

Или даже так:

$$ f(t)=\lim\limits_{R\to+\infty}{1\over2\pi i}\int_{\sigma-iR}^{\sigma+iR}F(p)\,e^{pt}\,dp.$$

Добавлено спустя 13 минут 41 секунду:

Draeden писал(а):

ewert, я знаю только случай, когда контур не проходит через особые точки.

Ну давайте рассмотрим один простой полюс $z_0$, расположенный на контуре.
Под "главным значением" интеграла понимается следующее: удаляется участок контура, захватываемый $\varepsilon$-окрестностью точки $z_0$, и смотрится, куда будет стремиться интеграл по оставшейся части контура при $\varepsilon\to0$.
Так вот, замкнём оставшую часть контура по соответствующей дуге окружности радиуса $\varepsilon$ так, чтобы граничный полюс оказался снаружи. Интеграл по полученному контуру будет определяться обычной суммой вычетов. Соответственно, главное значение исходного интеграла -- это вклад внутренних особых точек минус предельное (при $\varepsilon\to0$) значение интеграла по указанной дуге окружности.
А вот с последним всё ясно. Интеграл от регулярной (в окрестности $z_0$) части функции стремится к нулю -- просто из-за ограниченности этой части и стремления к нулю длины окружности. А интеграл от

$${C_{-1}\over z-z_0}$$

считается явно. Если контур гладкий, то дуга при малых радиусах стремится к полуокружности, вот и получается вклад в полвычета (именно плюс полвычета, т.к. дуга окружности после вдавливания её внутрь контура будет обходиться в неправильном направлении).

На произвольное количество точек утверждение обобщается обычным образом.

[Draeden]

Вы хорошо объясняете, теперь мои знания расширены

Интеграл Пуассона:

$I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

$x^2 = iz$

$2xdx = idz$

$dx = \frac1 2 \sqrt{i}\frac{dz}{\sqrt{z}}$

$I = \frac{\sqrt{i}}2\int\limits_{Re z = 0}\frac{e^{-iz}}{\sqrt{z}}dz$ контур идёт сверху вниз.

Здесь сущ. особая точка, т.е. посчитать нельзя ?

[ewert]

Это не существенно особая точка, а точка ветвления, теорема о вычетах не работает.

[Draeden]

гхым... ещё одно новое определение... что такое точка ветвления ?

[Alexiii]

Точка ветвления —это особая точка полной аналитической функции, такая, что аналитическое продолжение какого-либо элемента этой функции вдоль замкнутого пути, охватывающего эту точку, приводит к новым элементам этой функции.

[pimeja]

ewert писал(а):

Draeden писал(а):

Такой теоремы я не знаю. Не могли бы вы рассказать хотя бы набросок док-ва ?

Теорема звучит так: контурный интеграл равен $2\pi i$ на сумму вычетов во всех внутренних особых точках плюс $\pi i$ на сумму вычетов по особым точкам, лежащим на границе.

Однако вторая половина утверждения верна только при двух дополнительных требованиях:
1) граничные особые точки -- обязательно полюса, причём простые;
2) участок контура, на котором лежит полюс -- обязательно гладкий.
Да, и ещё, конечно: при наличии полюсов на контуре интеграл понимается в смысле главного значения, т.к. в обычном смысле он при этом расходится.

Что конкретно из этого Вам неизвестно?

Как показали мои поиски по учебникам, то такая формулировка верна только для подинтегральной функции вида
f(z)e^{iz} с хорошим поведением на бесконечности.
Ahlfors L.V. Complex Analysis. страница 158

Контр-пример:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x} = \pi i \mathtt{res}_{x=0}(1/x) = \pi i

[ewert]

pimeja писал(а):

Как показали мои поиски по учебникам, то такая формулировка верна только для подинтегральной функции вида
f(z)e^{iz} с хорошим поведением на бесконечности.
Ahlfors L.V. Complex Analysis. страница 158

Контр-пример:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x} = \pi i \mathtt{res}_{x=0}(1/x) = \pi i

Такая формулировка верна всегда для любых контуров. Если же Вы собираетесь считать интеграл по оси, замыкая её бесконечной полуокружностью, то конечно, нужны дополнительные условия на функцию -- но это никак не связано с полюсами на контуре. Стандартное условие -- одно из двух:
1) приведённое Вами (со сколь угодно слабым, но равномерным стремлением $f\to0$ на бесконечности и возможным вещественным коэффициентом под экспонентой) -- это лемма Жордана;
2) просто равномерное стремление $f\to0$ на бесконечности, но быстрее минус первой степени.

В Вашем контрпримере нет ни того, ни другого. А вот добавьте в знаменатель ещё множитель $(1+x^2)$ -- и всё получится.

[pimeja]

Понял свою ошибку, спасибо.

Мне надо найти следующий интеграл, пока мои усилия напрасны.
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(\frac{\pi}{h}(x-kh))}{\frac{\pi}{h}(x-kh)}log|x| dx

[nestoklon]

Элементарную теорию по ТФКП лучше читать например тут. Там всё подробно изложено. И про то, какой должна быть функция и про точки ветвления, и про всё остальное.

[vlad239]

Есть ли способ вычислить $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx$ с помощью вычетов?

Я попробовал следующее.

1) у функции нет ни одной особой точки кроме бесконечности - подправим, возьмем по частям, дописав $2x\cdot\frac{1}{2x}$ и написав главное значение

2) стандартные полукруги плохи - вещественная часть $z^2$ в верхней полуплоскости бывает какой угодно. Попробовал взять угол и связать интегралы по его сторонам между собой, но не вышло.

Если есть - хочу студентам рассказать.

Влад.

// 10.04.09 тема "Эйлер-Пуассон и ТФКП" перемещена в более широкую тему. / GAA

[Хорхе]

Замените $x^2$ на $t$, думаю, все получится.

[vlad239]

Хорхе писал(а):

Замените $x^2$ на $t$, думаю, все получится.

В смысле? Тогда при замене появится $\sqrt{t}$, у которого в нуле точка ветвления. И мне потом предлагается с ветвями корня разбираться каким-то способом или что?

Влад.

[Полосин]

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{B\left(\frac12,\frac12\right)}, $$

$$ 0<Re p<1: B(p,1-p)=\int_0^{+\infty}\frac{x^{p-1}dx}{x+1}=\frac{\pi}{\sin(\pi p)}. $$

Последняя формула как раз доказывается с помощью вычетов, контур - окружность с разрезом вдоль положительной полуоси.
Всё-таки, по-моему, гораздо проще - классическим способом Пуассона:

$$ \left(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\right)^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=2\pi\int_0^{+\infty}re^{-r^2}dr=\pi. $$