Задание метрики через инфимум длин ломаных

[Mikhail_K]

В теме topic122287.html участники обсуждения использовали интересный приём, позволяющий построить новую метрику на множестве, если у нас уже есть какая-то метрика или даже "недо-метрика" (не всюду определённая или не удовлетворяющая аксиоме треугольника).

Именно, новая метрика определяется как инфимум длин всевозможных конечных ломаных с концами в данных двух точках. Длины измеряются в старой метрике или "недо-метрике". Как минимум, аксиома симметрии и аксиома треугольника при данном подходе выполнены автоматически.

Видимо, это какой-то довольно стандартный приём для решения подобных задач, однако мне он до сих пор был неизвестен.

Вот мой вопрос: где этот приём содержательно используется? Прошу привести хотя бы некоторые примеры. Особенно интересует, существуют ли какие-то разумные и полезные (в каком-либо смысле) метрики, определяемые именно через инфимум длин ломаных? Или это чисто теоретический инструмент? В последнем случае, хотелось бы знать какие-нибудь особенно известные результаты его применения.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1262847 писал(а):

Именно, новая метрика определяется как инфимум длин всевозможных конечных ломаных с концами в данных двух точках.

А что такое "ломаная" в метрическом пространстве? Ведь в нем нет понятия отрезка, и я не вижу разумного способа такое понятие определить.

[g______d]

Конечная последовательность точек $x_1,\ldots, x_n$. Длина ломаной определяется как $\rho(x_1,x_2)+\rho(x_2,x_3)+\ldots+\rho(x_{n-1},x_n)$.

-- Пн, 06 ноя 2017 14:41:51 --

Mikhail_K в сообщении #1262847 писал(а):

Вот мой вопрос: где этот приём содержательно используется?

Вот, например

https://arxiv.org/abs/math/0607304

Дальше можно искать по ключевым словам.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1262945 писал(а):

Конечная последовательность точек $x_1,\ldots, x_n$. Длина ломаной определяется как $\rho(x_1,x_2)+\rho(x_2,x_3)+\ldots+\rho(x_{n-1},x_n)$.

Если метрика определена для концов этой ломаной, то неравенство треугольника делает тривиальным тот факт, что инфимум длин ломаных достигается просто на паре концов, что делает конструкцию бессмысленной. Если же метрика не определена для некоторых пар точек пространства, то тогда это вовсе и не метрическое пространство.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1262946 писал(а):

Если метрика определена для концов этой ломаной, то неравенство треугольника делает тривиальным тот факт, что инфимум длин ломаных достигается просто на паре концов, что делает конструкцию бессмысленной.

Функция $\rho$ может быть определена на всех парах точек, но не удовлетворять неравенству треугольника (пример -- квази-метрика). Указанная конструкция автоматически удовлетворяет неравенству треугольника (но не обязательно аксиоме невырожденности)

Если она определена не для всех пар точек, то я не знаю, какая стандартная конструкция, но можно, например, доопределить её через $+\infty$, или заменить исходную функцию на что-нибудь типа $\frac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)}$ и потом доопределить единицей для всех остальных пар.

[Brukvalub]

g______d, благодарю за разъяснения.

[vpb]

Например, в функане это соображение можно использовать при доказательстве теоремы, что если отделимое топологическое векторное пространство имеет счетную базу, то оно метризуемо, причем метрика инвариантна относительно сдвигов. Еще оно используется при построении т.наз. верхней кросснормы на тензорном произведении двух нормированных пространств. Да мало ли где. Соображение несложное, хотя и не так чтобы совсем тривиальное.

А препринт тот с Архива напоминает историю, как в 18 веке еще какие-то прохвосты ухитрились взять патент на кривошип, из-за чего Уатту пришлось изобретать "параллелограмм Уатта" для преобразования вращательного движения в поступательное. Так можно любую более-менее известную мысль превратить в единицу публикации. Хоть я не вчитывался, может там дельное зерно и есть.

[g______d]

vpb в сообщении #1263024 писал(а):

А препринт тот с Архива напоминает историю, как в 18 веке еще какие-то прохвосты ухитрились взять патент на кривошип, из-за чего Уатту пришлось изобретать "параллелограмм Уатта" для преобразования вращательного движения в поступательное. Так можно любую более-менее известную мысль превратить в единицу публикации. Хоть я не вчитывался, может там дельное зерно и есть.

Конкретно по этой конструкции они ссылаются на статью Frink 1937 года. Она вполне могла именно там появиться в первый раз.