Draeden писал(а):
ewert, если
![$Im a > 0$ $Im a > 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/f/d1fabe414835d63a24528822a2c1b9bb82.png)
то интеграл от
![$\frac{e^{iz}}{z-a}$ $\frac{e^{iz}}{z-a}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/7/3c73b193144aad30a2dc4b07ee1ffa8082.png)
по кривой
![$\Gamma = \{z\in \mathbb{C} | Im z = +\varepsilon > 0\}$ $\Gamma = \{z\in \mathbb{C} | Im z = +\varepsilon > 0\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/e/91e78d7d0a5db67bbceb91ba1adeaef182.png)
, в силу леммы Жордана, будет равен
![$2\pi i \cdot res\limits_a = 2\pi i \cdot e^{ia}$ $2\pi i \cdot res\limits_a = 2\pi i \cdot e^{ia}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/b/acb3f1d1a0ae55241b0db91efefa721082.png)
. Если взять кривую чуть ниже вещественной оси:
![$\Gamma' = \{z\in \mathbb{C} | Im z = -\varepsilon < 0\}$ $\Gamma' = \{z\in \mathbb{C} | Im z = -\varepsilon < 0\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/e/34e4cc2b37c0ca3f15efa7ef3d85631b82.png)
то интеграл по этому контуру останется прежним ( наверняка это можно строго показать ). Другое дело, что при приближении
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
к нулю ( сверху, т.е.
![$Im a > 0$ $Im a > 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/f/d1fabe414835d63a24528822a2c1b9bb82.png)
) получится
![$2\pi i$ $2\pi i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/f/aff88224e46cb27538cd03927dbb023482.png)
. Непонятно, как вы разделили это число на два.
Извините, мне лень следить, кто больше нуля, кто меньше -- будем лучше говорить, снизу от начала координат проходит прямая или сверху, так надёжнее.
Так вот. В лемме Жордана принципиально, что неограниченно возрастающий отрезок вещественной оси (или параллельный ей) замыкается именно по
верхней полуокружности. Ибо комплексная экспонента убывает при уходе именно в верхнюю полуплоскость -- а в нижнюю, наоборот, растёт.
Поэтому сдвиг прямой вверх и вниз приводит к совершенно различным результатам: при сдвиге вниз полюс оказывается внутри контура, так что вычет даёт
![$2\pi i$ $2\pi i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/f/aff88224e46cb27538cd03927dbb023482.png)
; при сдвиге же вверх полюс вылетает за пределы контура, и результат оказывается нулевым.
Ну а если контур проходит ровно по полюсу, то результат соответствует ровно половинке вычета. А почему -- перечитайте доказательство теоремы о вычетах. Это в любом случае полезно, раз уж завтра экзамен.