Решение уравнения

[Rafael_Tal]

Как решить такое уравнение $\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}=\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}$, не решая его как алгебраическое, а может быть как функциональное? Должна же быть функциональная зависимость, не просто так тут одна функция в другой и наоборот. Говорить, что $x_0=0$ не принимается.

[kotenok gav]

Rafael_Tal в сообщении #1262655 писал(а):

не решая его как алгебраическое

Методом подбора.

[Rafael_Tal]

kotenok gav в сообщении #1262656 писал(а):

Rafael_Tal в сообщении #1262655 писал(а):

не решая его как алгебраическое

Методом подбора.

Хотелось бы все-таки решить его таким способом, чтобы решение было основано на равенстве двух функций, имеющий "почти одинаковый вид", а не на эвристическом подборе.

-- 06.11.2017, 05:56 --

kotenok gav в сообщении #1262656 писал(а):

Rafael_Tal в сообщении #1262655 писал(а):

не решая его как алгебраическое

Методом подбора.

И при обычном подборе исключается установка единственности корня. А этот корень единственен.

[provincialka]

Rafael_Tal в сообщении #1262655 писал(а):

тут одна функция в другой и наоборот.

Не совсем так... это уравнение не имеет вида $f(g(x))=g(f(x))$, единица "мешается". Это просто для красоты корни так использовали.
Зато одна функция больше другой (кроме точки $x=0$).

Если ввести обозначение $x=t^6$, получим уравнение $\sqrt[3]{1+t^3}=\sqrt{1+t^2}$. Тут тоже есть определенная симметрия...

[Rafael_Tal]

provincialka в сообщении #1262658 писал(а):

Rafael_Tal в сообщении #1262655 писал(а):

тут одна функция в другой и наоборот.

Не совсем так... это уравнение не имеет вида $f(g(x))=g(f(x))$, единица "мешается". Это просто для красоты корни так использовали.
Зато одна функция больше другой (кроме точки $x=0$).

Если ввести обозначение $x=t^6$, получим уравнение $\sqrt[3]{1+t^3}=\sqrt{1+t^2}$. Тут тоже есть определенная симметрия...

Не могу не согласиться, и функциональное равенство у меня было такое же, правда, я посчитал, что оно неверно из-за единиц. Но какая здесь может быть симметрия?

[provincialka]

Rafael_Tal, симметрия в широком смысле. Можно при фиксированном $t$ рассмотреть функцию $g(n)=\sqrt[n]{1+t^n}$ . И посмотреть, растет она или убывает.

Впрочем, это все игрушки. Уравнение прекрасно решается именно алгебраически, другие методы будут "из пушки по воробьям".