Как получить формулу для первообразной степенной функции?

[Евгений Машеров]

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

Нас например в университете учили тупо заучивать таблицу первообразных, свято веря в неё,

Позвольте не поверить. Ну, то есть в то, что требовали учить наизусть, вполне верится - это навык, избавляющий от труда беспрестанно заглядывать в справочник. А что требовали "свято верить", не смея усомниться - не верю. Никто не мешал перестать верить и проверить. Продифференцировав.

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

Конкретно непонятно куда деваются все члены, начиная с 3-го в разложении по биному. Ими пренебрегают, оставляя только член, не содержащий множителей степеней $\delta x$?

Вполне возможно, что Ньютон, Лейбниц и прочие в их время именно так и поступали. Отбрасывая "члены второго и большего порядка малости". Что при их гениальной интуиции к ошибкам не приводило, но потом обнаружились некоторые парадоксы от такого вольного обращения. Пришёл Коши и сделал кошерно - через понятие предела, устранив парадоксы наподобие тех, над которыми издевался епископ Беркли. Сейчас следуют пути, указанному Коши и на парадоксы не натыкаются.

[Someone]

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

возникает необходимость обосновать формулу для производной степенной функции, причем обосновать не с помощью первообразной, а как-то иначе.

Впервые в жизни слышу об обосновании формулы производной степенной функции с помощью первообразной. Где Вы такое чудо выкопали?

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

Например я знаю определение производной: Производная функции - предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю. …

$\lim_{\delta x\rightarrow 0}{\frac{x^n-(x+\delta x)^n}{\delta x}}$

Вообще-то, наоборот.

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

раскроем скобки в соответствии с биномом Ньютона: $\lim_{\delta x\rightarrow 0}{\frac{x^n-\frac{n!}{0!n!}x^n(\delta x)^0-\frac{n!}{1!(n-1)!}x^{n-1}(\delta x)^1-\frac{n!}{2!(n-2)!}x^{n-2}(\delta x)^2-......}{\delta x}}= -nx^{n-1}-\frac{n(n-1)x^{n-2}\delta x}{2!}-\frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}(\delta x)^2}{3!}-.........-\frac{n(n-1)(n-2).....(n-n+1)x^0 (\delta x)^n}{n!}$

Не соображу что делать дальше, чтобы получить необходимую формулу для производной.

Начать надо с того, чтобы исправить ошибку в определении приращения функции и потом правильно вычислить предел. После чего все вопросы чудесным образом исчезают.

[kotenok gav]

Someone, вы до конца дочитали?:

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

Да, минус у меня получился из-за неправильной формулфы , определяющей производную, нужно поменять вычитаемое и уменьшаемое местами:$\lim_{\delta x\rightarrow 0}{\frac{(x+\delta x)^n-x^n}{\delta x}}$, тогда в итоге получим:$nx^{n-1}+\frac{n(n-1)x^{n-2}\delta x}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}(\delta x)^2}{3!}+.........+\frac{n(n-1)(n-2).....(n-n+1)x^0 (\delta x)^n}{n!}$

GAA:

Roger в сообщении #1262214 писал(а):

Да, признаю, что не так было у меня, пока мне не помогли разобраться. Спасибо.

Проблема решена. Коментарии к вопросу даны.
Заголовок ветки не соответствует содержанию. Переехали в Чулан.