Жидкость в статическом случае

[WithoutName]

Здравствуйте. У меня есть два вопроса по гидростатике.

1) Допустим, у нас есть U-образный сосуд. Мы наливаем туда жидкость. Сначала выключим атмосферу. В самой нижней точке сосуда у нас давление $P$. Если теперь включить атмосферу, то в той же точке давление будет $P + 2P_0$, где $P_0$ - атмосферное давление? Ибо на каждую свободную поверхность действует атмосферное давление $P_0$, которое по закону Паскаля передаётся без изменения в каждую точку жидкости. Всего свободных поверхности у нас две, а значит и передаваемых давления два, суммарное же будет $2P_0$. Или нельзя рассматривать эти поверхности изолированно друг от друга? Нужно считать, что она как бы едина? Или что?

2) Задача из задачника Савченко
В цилиндрический сосуд высоты $H$ через крышку вертикально вставлена немного не доходящая до дна сосуда тонкостенная трубка длины $l$. Соединение крышки с сосудом и трубкой герметично. В сосуд через трубку наливают жидкость. Найдите высоту уровня жидкости от дна сосуда, когда трубка заполняется жидкостью. Атмосферное давление $P_0$, плотность жидкости $p$.


Пусть трубка заполнена жидкостью и всё находится в равновесии. Тогда на уровне дна сосуда столбы воды из сосуда должны создавать такое же давление, что и столб жидкости в трубке. С учётом атмосферного давления получим $2pgh = pgl + P_0$ ($h$ - искомая высота уровня жидкости). Но это решение неверно. Не могу понять почему.

Спасибо!

[Pphantom]

1) Пусть у нас есть открытая сверху кастрюля с водой. Опустим на поверхность воды сито. Поскольку поверхность сеткой сита разделится на много отдельных участков, давление в кастрюле возрастет во столько же раз, сколько дырочек в сите, и кастрюля взорвется. Не следует ли нам запатентовать новый способ что-нибудь взрывать? Глядишь, как Альфред Нобель, потом тоже премии раздавать будем...

2) А давление газа, оставшегося в сосуде, Вы учесть не хотите?

[WithoutName]

Pphantom в сообщении #1262295 писал(а):

Не следует ли нам запатентовать новый способ что-нибудь взрывать?

Я примерно в таком же свете вижу абсурдность подобных умозаключений, но почему они неверны? Ведь закон Паскаля гласит, что давление, производимое на жидкость или газ, передаётся в любую точку жидкости или газа без изменения. В данном случае у нас подводится давление к двум свободным поверхностям. Следовательно, оно должно передаться в нижнюю точку без изменения. Я действительно не вижу ошибки. Уверен, она основана на каком-то смешном непонимании, но помогите его найти. Хочу понять ошибочность.
Как я вижу, мы не должны разделять свободные поверхности. А что же тогда значит "давление, производимое на жидкость или газ"? Это общее давление на "объединённую" свободную поверхность? А если к одной свободной поверхности подводится давление $P_1$, а к другой $P_2$? Они же должны будут передаться в нижнюю точку в своём, так сказать, неизменном виде?

Pphantom в сообщении #1262295 писал(а):

А давление газа, оставшегося в сосуде, Вы учесть не хотите?

И правда. Очень хочу, спасибо.
А с распределением давлений я не накосячил (если мысленно убрать газ, то всё будет так же, как я описал?) ?

[Pphantom]

WithoutName в сообщении #1262300 писал(а):

Я примерно в таком же свете вижу абсурдность подобных умозаключений, но почему они неверны? Ведь закон Паскаля гласит, что давление, производимое на жидкость или газ, передаётся в любую точку жидкости или газа без изменения.

Передается, но не складывается же.

WithoutName в сообщении #1262300 писал(а):

А с распределением давлений я не накосячил (если мысленно убрать газ, то всё будет так же, как я описал?) ?

Кажется, там двойка тоже лишняя, но поскольку Вы вводите одни обозначения, а в формулы вставляете другие, трудно сказать наверняка.

[fred1996]

WithoutName
1. В ваших рассуждениях зарыта типичная ошибка. Вы путаете давление и силу давления.
По закону Паскаля давление передается равномерно во все точки внутри жидкости. Никакого удвоения, которое появляется только если вы начинаете рассчитывать силы

2. Опять в формуле двойка лишняя. Вы же измеряете давления, а не силы.
Ну и как уже отметили, что будем делать с газом в сосуде? Изначально наверное предполагается, что без воды его давление равнялось атмосферному. Теперь газ сжали.

[WithoutName]

fred1996 в сообщении #1262304 писал(а):

которое появляется только если вы начинаете рассчитывать силы

Хорошо, а как тогда быть, если давления, приложенные к разным свободным поверхностям, разные? Что тогда будет передано нижней точке? Положим, эти внешние давления равны $P_1$ и $P_2$.

fred1996 в сообщении #1262304 писал(а):

что будем делать с газом в сосуде?

Запишем закон Бойля-Мариотта для начальных и конечных состояний. Оттуда выразим давление и потом по закону Паскаля перенесём его в нижнюю точку.

-- 05.11.2017, 00:22 --

Тут проблема возникает именно в случае разделённой свободной поверхности. В случае одной всё понятно. А тут так и тянет сложить.

[slavav]

WithoutName в сообщении #1262306 писал(а):

Хорошо, а как тогда быть, если давления, приложенные к разным свободным поверхностям, разные? Что тогда будет передано нижней точке? Положим, эти внешние давления равны $P_1$ и $P_2$.

А они могут быть разными для статичной жидкости?

[WithoutName]

slavav
Жидкость, конечно, на время начнёт двигаться. Но в итоге распределится так, что эта разность в смысле суммы будет компенсироваться. Нет?
При этом всё равно внешние давления останутся теми же.

-- 05.11.2017, 00:41 --

Ага! В этом случае давление на дне будет равно $P_0 + P_1 + P_2$, где $P_0$ - давление столба жидкости, который поднялся вследствие перераспределения жидкости, на дно. Верно?

[fred1996]

WithoutName
Закон Паскаля - это в каком-то смысле упрощенное видение. Когда мы рассматриваем несжимаемую жидкость и внутри нее нет никаких полостей из воздуха. Грубо говоря - есть у нас какой-то сложный резервуар с жидкостью. А мы в нем сделаем дырку и приложем к ней силу. Получится нечто вроде гидравлического пресса. Вот эта сила, поделенная на площадь и даст нам то экстра давление, которое равномерно прибавится везде внутри жидкости.
То есть оперировать надо не площадями, а высотой жидкостных столбов. Они образуют давления, а не площади. И тогда можно легко выписать все уравнения статического равновесия с разных сторон. Да еще использовать там где надотгазовые законы, где у вас есть полости внутри жидкости.

[WithoutName]

fred1996
Хотите ли вы сказать, что мои вопросы не имеют определённого ответа, если рассматривать их с позиций закона Паскаля?

[fred1996]

Нет. Я хочу сказать, что в законе Паскаля не может быть несколько "входов".
Грубо говоря вы не можете сказать, давайте ка с этой стороны давление увеличим на столько-то, а с этой на столько-то. Давления во всей системе связаны. И если мы произвольно меняем давление в одном месте, в других местах оно будет фунуционально зависеть от него. В простейшем случае, когда в системе нет пустот, можно применить закон Паскаля напрямую. Если же пустоты есть, надо все-таки составлять уравнения равновесия по столбам жидкости и по газовым законам.

[realeugene]

Давление - это величина, которая относится к точке в жидкости. В разных точках может быть разное давление, эти давления не суммируются. Закон Паскаля - это приближение, применимое только для гидростатики и только тогда, когда весом самой жидкости можно пренебречь. Например, в гидропрессе. Но не при рассмотрении свободных поверхностей жидкости.

Если же весом жидкости пренебрегать нельзя, нужно учитывать возрастание гидростатического давления в жидкости с глубиной. При этом давление в различных точках жидкости связано уравнением Бернулли (в гидростатике скорости в этом уравнении нулевые, и в качестве трубки тока можно рассматривать произвольную воображаемую трубку в жидкости). Это уравнение позволяет связать давление жидкости, в том числе, на различных свободных поверхностях этой жидкости. Если две свободные поверхности находятся на одной высоте, то давление жидкости на них совпадает. Если на разной - то и давление на них внешней по отношению к рассматриваемой жидкости среды тоже должно быть разное. Иначе, просто, ситуация, когда эти поверхности оказываются на разной высоте, в гидростатике невозможна, так как не выполняются уравнения гидростатики.