Найти синус от заданного выражения

[Men007]

Чему равен $\sin\frac{\pi\cdot n}{2}$ при натуральных $n$, то есть при $n=1,2,3,4,5,...

Решение:
По формуле $\cos\frac{\pi\cdot n}{2}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot \frac{(-1)^n+1}{2}$.

Кроме того, $\sin\frac{\pi\cdot n}{2}=\cos(\frac{\pi\cdot n}{2}+\frac{3\pi}{2})=\cos(\frac{\pi\cdot (n+3)}{2})$.

Следовательно, имеем:

$\sin\frac{\pi\cdot n}{2}=(-1)^{\frac{(n+3)(n+3-1)}{2}}\cdot \frac{(-1)^{n+3}+1}{2}=(-1)^{\frac{n^2+5n+6}{2}}\cdot \frac{(-1)^{n+3}+1}{2}$.

Верно ли я получил формулу и можно ли ее как-то упростить?
Или возможно для $\sin\frac{\pi\cdot n}{2}$ есть более простые формулы, которые выводятся немного иначе.

[Lia]

Men007 в сообщении #1262181 писал(а):

Известно, что $\sin(nx)=0$, $\cos(nx)=(-1)^n$.

?

Men007 в сообщении #1262181 писал(а):

Разложение синуса в ряд

В какой ряд?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Просьба о корректной постановке задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[kotenok gav]

Men007 в сообщении #1262181 писал(а):

Верно ли я получил формулу и можно ли ее как-то упростить?

Рассмотрите $n \bmod 4$.

[Men007]

kotenok gav
Не совсем понимаю, что это мне может дать.

[arseniiv]

Всё зависит от того, зачем нужна формула. Если нужно просто компактное описание последовательности значений, можно написать что-то типа $\sin\frac{\pi n}2 = \mathsf S[0, 1, 0, -1]_n$ (нестандартное обозначение*) или, более длинно, но с тем же смыслом,

$$\sin\frac{\pi n}2 = \begin{cases} \hphantom{+}0, & n\bmod4 = 0, \\ \hphantom{+}1, & n\bmod4 = 1, \\ \hphantom{+}0, & n\bmod4 = 2, \\ -1, & n\bmod4 = 3. \end{cases}$$

Даже второй случай намного гуманнее, чем нагромождения степеней $(-1)$. Для программирования формулы со степенями тоже излишни.

* Определение:

$$\mathsf S[a_0,\ldots,a_{k-1}]_n = \begin{cases} a_0, & n\bmod k = 0, \\ \vdots \\ a_{k-1}, & n\bmod k = k-1. \end{cases}$$

[Shadow]

А если очень надо, характеристическое уравнение $x^4-1=0$

Главное, что от вас трбуют. Формулу в замкнутом виде?

[Booker48]

\sin\frac{\pi n}2 = \ -(n\bmod2) (n\bmod4 -2)

[mihiv]

$\sin \frac {\pi n}2=\dfrac {(-1)^{\frac {n(n-1)}2}-(-1)^{\frac {n(n+1)}2}}2$