Как получить формулу для первообразной степенной функции?

[Roger]

Прошу простить мою наивность, но интересует вопрос: откуда Лейбниц и Ньютон взяли, что первообразная от $x^n$

$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ?

Можно ли это как-то вывести? Например у меня получается другая формула для первообразной, следующая из моих философских соображений, в которых я сомневаюсь и которые не хотел бы излагать до ознакомления с результатами и рассуждениями Ньютона и Лейбница. Нас например в университете учили тупо заучивать таблицу первообразных, свято веря в неё, поэтому попыток решения не привожу, а привожу лишь готовую формулу в которой посмел усомниться.

Попытки решения таковы: первообразная $F(x)$ функции $f(x)$ - это такая функция, производная которой $F'(x)=f(x)$. Здесь всё формально верно. Но, дифференциальное и интегральное исчисления разрабатывались согласованно и не имеют противоречий друг с другом. Поэтому, чтобы удостовериться в справедливости формулы для первообразной степенной функции, возникает необходимость обосновать формулу для производной степенной функции, причем обосновать не с помощью первообразной, а как-то иначе. Например я знаю определение производной: Производная функции - предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю. Возникают трудности с пониманием того, как с помощью этого определения вывести формулу для производной степенной функции?

$\lim_{\delta x\rightarrow 0}{\frac{x^n-(x+\delta x)^n}{\delta x}}$

раскроем скобки в соответствии с биномом Ньютона: $\lim_{\delta x\rightarrow 0}{\frac{x^n-\frac{n!}{0!n!}x^n(\delta x)^0-\frac{n!}{1!(n-1)!}x^{n-1}(\delta x)^1-\frac{n!}{2!(n-2)!}x^{n-2}(\delta x)^2-......}{\delta x}}= -nx^{n-1}-\frac{n(n-1)x^{n-2}\delta x}{2!}-\frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}(\delta x)^2}{3!}-.........-\frac{n(n-1)(n-2).....(n-n+1)x^0 (\delta x)^n}{n!}$

Не соображу что делать дальше, чтобы получить необходимую формулу для производной.

Конкретно непонятно куда деваются все члены, начиная с 3-го в разложении по биному. Ими пренебрегают, оставляя только член, не содержащий множителей степеней $\delta x$? И еще непонятно почему у меня получился минус. Да, минус у меня получился из-за неправильной формулфы , определяющей производную, нужно поменять вычитаемое и уменьшаемое местами:$\lim_{\delta x\rightarrow 0}{\frac{(x+\delta x)^n-x^n}{\delta x}}$, тогда в итоге получим:$nx^{n-1}+\frac{n(n-1)x^{n-2}\delta x}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)x^{n-3}(\delta x)^2}{3!}+.........+\frac{n(n-1)(n-2).....(n-n+1)x^0 (\delta x)^n}{n!}$

Остался один вопрос: что происходит со всеми членами, начиная со второго? Пренебрегаем ими в силу их малости, т.к. они содержат множитель $\delta x$, стремящийся к нулю?

В зависимости от ответа на него могут еще появиться другие вопросы.

[Brukvalub]

Эта формула выводится в любом учебнике по математическому анализу, жевать ее здесь для вас желаний нет. Да и "хфилософий" для вывода формулы не требуется, так что просто потрудитесь открыть учебник и прочесть.

[Vova_Gidro]

1) То что вы написали, это не первообразная, а неопределенный интеграл (разница есть).
2) Вспомните определение первообразной.
3) Проверьте, удовлетворяет ли этому определению функция из вашего поста и ваша собственная.

[Roger]

Brukvalub в сообщении #1261997 писал(а):

Эта формула выводится в любом учебнике по математическому анализу, жевать ее здесь для вас желаний нет. Да и "хфилософий" для вывода формулы не требуется, так что просто потрудитесь открыть учебник и прочесть.

Посоветуйте пожалуйста учебник, желательно для технических специальностей, а не чисто математиков.

[Karan]

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

Нас например в университете учили тупо заучивать таблицу первообразных, свято веря в неё, поэтому попыток решения не привожу, а привожу лишь готовую формулу в которой посмел усомниться.

А зря: даже если Вас плохо учили в университете, в приличном учебнике мат. анализа (Рудин, Зорич, Фихтенгольц) Вы найдете определение первообразной и сможете применить его сами. Если у Вас возникнут затруднения, то опишите попытки решения и объясните, что именно у Вас не получилось.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Lia]

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

$F(x^n)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ?

Ну уберите это, пожалуйста, мне сегодня кошмары будут сниться.

[Karan]

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

Остался один вопрос: что происходит со всеми членами, начиная со второго? Пренебрегаем ими в силу их малости, т.к. они содержат множитель $\delta x$, стремящийся к нулю?

Не пренебрегаем, а вычисляем предел. Предел суммы - это сумма пределов (доказательство в учебнике). Предел $k x^{n - m - 1} (\delta x)^{m}$ можно найти либо по определению, либо как предел произведения.

[Roger]

Karan в сообщении #1262027 писал(а):

$k x^{n - m - 1} (\delta x)^{m}$

$k x^{n - m - 1}$- величина конечная, $(\Delta x)^{m}$ стремится к нулю, следовательно и всё выражение стремится к нулю, также как и сумма всех членов, содержащих множетель $(\Delta x)^{m}$.

Спасибо. Но что-то здесь всё-равно не так. Буду думать.( Может и кто-то здесь не так, т.е. я).

И теперь, когда стало понятно с начальным вопросом, приведу свою формулу первообразной степенной функции, вдруг она была эквивалентной:

$F(x^{2n})=\frac{x^{2n+1}-x^{2n}+x^{2n-1}-x^{2n-2}+.......-x}{2n+1}$
$F(x^{2n-1})=\frac{x^{2n}+x^{2n-1}-x^{2n-2}+x^{2n-3}-.......+x}{2n}$

Хотя и сам вижу, что по определению первообразной через производную эти формулы не эквивалентны классической формуле. Значит у кого-то что-то не так .

[Mikhail_K]

Roger, а что Вы вообще понимаете под обозначением $F(x^{2n})$ например?
Если Вы думаете, что это означает "первообразная от $x^{2n}$" (вне зависимости от того, верно она найдена или неверно), то Вы ошибаетесь. Откуда Вы такое обозначение вообще взяли?

Да, первообразную от $f(x)$ часто обозначают $F(x)$. Но тогда $F(x^{2n})$ - это вовсе не первообразная от $x^{2n}$, а результат подставления выражения $x^{2n}$ в первообразную $F(x)$ какой-то функции $f(x)$. Вам на это уже намекали выше.

[fred1996]

Lia в сообщении #1262026 писал(а):

Roger в сообщении #1261994 писал(а):

$F(x^n)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ?

Ну уберите это, пожалуйста, мне сегодня кошмары будут сниться.

(Оффтоп)

пожалуй, я теперь знаю, как получаются вялотекущие шизофреники.
Стоит один раз посмотреть такой сон

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Одного не пойму: зачем позволять превращать форум в клоунаду и паноптикум? ТС получил четкие указания: читать учебник, но продолжает клоунаду фразами:

Roger в сообщении #1262031 писал(а):

Хотя и сам вижу, что по определению первообразной через производную эти формулы не эквивалентны классической формуле. Значит у кого-то что-то не так .

Roger в сообщении #1262031 писал(а):

Спасибо. Но что-то здесь всё-равно не так. Буду думать.( Может и кто-то здесь не так, т.е. я).

То есть, ТС важно не разобраться, а покривляться на форуме, поскольку все средства как разобраться ему уже указаны, можно прекращать кривлянья, идти читать учебник и разбираться. А что и у кого "не так" все и так прекрасно видят.

[Karan]

Roger в сообщении #1262031 писал(а):

Хотя и сам вижу, что по определению первообразной через производную эти формулы не эквивалентны классической формуле. Значит у кого-то что-то не так .

Ну, классическую формулу Вы проверили. Значит, совершенно точно понятно у кого что-то не так.

[Roger]

Mikhail_K в сообщении #1262037 писал(а):

Если Вы думаете, что это означает "первообразная от $x^{2n}$" (вне зависимости от того, верно она найдена или неверно), то Вы ошибаетесь. Откуда Вы такое обозначение вообще взяли?

Спасибо. Да, действительно я ошибся, такое обозначение я необоснованно выдумал. Должно быть :
$f(x)=x^{2n}, F(x)=\frac{x^{2n+1}-x^{2n}+x^{2n-1}-x^{2n-2}+.......+x} {2n+1}$;
$f(x)=x^{2n-1}, F(x)=\frac{x^{2n}+x^{2n-1}-x^{2n-2}+x^{2n-3}+.......+x} {2n}$;
- это выведенная мною неверная первообразная. А верно и обосновано, согласно с правилами математики:
$f(x)=x^{n}, F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Karan в сообщении #1262113 писал(а):

Ну, классическую формулу Вы проверили. Значит, совершенно точно понятно у кого что-то не так.

Да, признаю, что не так было у меня, пока мне не помогли разобраться. Спасибо.