Нитка с грузиком на цилиндре

[pogulyat_vyshel]

Гладкий круглый цилиндр радиуса $R$ наклонен к горизонтали под углом $\alpha$ (угол между осью цилиндра и горизонтальной плоскостью). На поверхности цилиндра имеется крючок в точке $P$ эта точка лежит в вертикальной плоскости, содержащей ось цилиндра. К крючку прицеплена своим концом невесомая нерастяжимая нить длины $L$, на другом конце нити укреплен маленький грузик массы $m$. Нитка с грузиком свисает с цилиндра в поле силы тяжести. Найдите длину $l$ той части нити, которая не касается цилиндра.

[dovlato]

Рассмотреть развёртку боковой поверхности. И, в общем-то, и всё. Таким же образом можно поступать для любого, т.е. не только кругового, цилиндра.
Кстати, попутно можно ещё найти частоту малых колебаний в вертикальной плоскости, касающейся цилиндра.

[fred1996]

dovlato в сообщении #1260597 писал(а):

Рассмотреть развёртку боковой поверхности. И, в общем-то, и всё. Таким же образом можно поступать для любого, т.е. не только кругового, цилиндра.
Кстати, попутно можно ещё найти частоту малых колебаний в вертикальной плоскости, касающейся цилиндра.

Кстати, это достаточно известная задача.

[dovlato]

Про колебания я когда-то давно, лет ..надцать тому назад придумал. Но, скорее всего, не первый.

[fred1996]

Мне эта задача попалась лет пять назад. Так что все задачи, которые мне попадаются, я сразу зачисляю в разряд известных :)

[pogulyat_vyshel]

Ну я , ведь, так просто погулять вышел, я не ставлю себе целью выложить задачу, которую вы не решите. Но и это легко сделать. Замените невесомую нить на однородную нить массы $m$, а грузик выбросьте совсем. Вопрос тот же.

[fred1996]

Я всегда говорил, что один теоретический механик всегда может поставить в тупик.
Не только всех остальных смертных, но и сотню других теоретических механиков.

[dovlato]

Ну а чё..Теория вариаций - и понеслась. Но это не для олимпийских богов.

[fred1996]

Вариации - это слишком в лоб. Мне кажется вариация в физическом смысле тут такая.
Попытаюсь перевести на человеческий язык.
Находим в любой точке цилиндра уравнение касательной плоскости. На этой плоскости находим направление кратчайшего спуска. То есть нам известно векторное поле производных, или как оно там называется. Таким образом составляем дифур на цилиндре.

[fred1996]

Обоснование следующее. При таком подходе в любой точке нити направление силы натяжения нити совпадет с направлением результирующей от гравитации и реакции опоры. То есть локально для любого участка выполняется статическое равновесие. В принципе это справедливо для любой гладкой поверхности если нет провисаний. В случае цилиндра провисаниям взяться неоткуда.
Если в моих рассуждениях нет лажи, то задача сводится к обычной аналитической геометрии.

[svv]

fred1996 в сообщении #1260907 писал(а):

На этой плоскости находим направление кратчайшего спуска.

Так ведь в точке $P$ направление кратчайшего спуска будет вниз по пунктирной линии (см. рисунок). Как же мы слезем с неё?

[fred1996]

И то верно. Значит где-то лажа.

[fred1996]

Тогда действуем, как всегда в таких случаях в лоб. Как в обычной задаче с провисанием веревки.


Пусть у нас на картинке развертка цилиндра так, что по вертикали откладывается угол $\theta$ угловая координата текущего кусочка веревки на цилиндре, которая меняется от 0 до $\frac{\pi}{2}$
Рассматриваем на веревке маленький кусочек $AB$ для текущего $\theta$. По этому углу и углу наклона цилиндра $\alpha$ однозначно вычисляется угол наклона результирующей силы $F$ гравитации и нормальной к горизонту $\beta$. Пусть угол наклона веревки в этой точке $\gamma$, который, как мы выяснили, не совпадает с $\beta$, а силы натяжения веревки, приложенные к концам выделенного кусочка $T_1$ и $T_2$, отличающиеся по величине на $\triangle T$ и по направлению на $\triangle\gamma$
Остается приравнять проекции этих сил, для того, чтобы достичь статического равновесия этоо кусочка.

[svv]

Вывел систему уравнений равновесия нерастяжимой массивной нити, лежащей на гладкой поверхности.
$\begin{array}{l}\frac{dT}{ds}+\mathbf f\cdot\mathbf v=0\\T k+\mathbf f\cdot\mathbf p=0\end{array}$

Обозначения:
$s$ — натуральный параметр кривой, которую образует нить;
$T$ — сила натяжения нити;
$\mathbf v$ — единичный касательный вектор к кривой;
$\mathbf N$ — единичный вектор нормали к поверхности;
$\mathbf p=\mathbf N\times \mathbf v$;
$\mathbf f$ — линейная плотность внешней силы (тяжести);
$k$ — геодезическая кривизна кривой.
Тут всё зависит от $s$.

Известно, что геодезическая кривизна определяется внутренней геометрией поверхности и потому является инвариантом изгибания. Поэтому эту систему удобно решать на плоской развёртке цилиндра, где $k$ становится обыкновенной кривизной плоской кривой со знаком.

[pogulyat_vyshel]

Да, это симпатично. По реперу Френе кривой на поверхности уравнения равновесия раскладываются и опять же формулами Френе (для кривой на поверхности) воспользоваться, откуда геодезическая кривизна и возникает