Вероятностная задача

[vicvolf]

Продолжение задачи. Просьба проверить.

Пусть последовательность случайных величин $x_1,x_2,...$ слабо сходится к случайной величине $x$.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины $x$: $M(x)=0, D(x)=2p$. (1)

Необходимо определить предельную функцию распределения для случайной величины $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, где $x_i$ - случайная величина, рассмотренная в первой части задачи.

Решение

Случайную величину $S_n$ можно представить в виде:
$S_n=S_{n-1}+x_n$.(2)

На основании (2) $S_n$ является цепью Маркова.

Учитывая, что вероятности $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ зависят от $n$, то $S_n$ является неоднородной цепью Маркова с конечным $(2n+1)$ числом состояний.

В каждое следующее состояние данная цепь переходит с вероятностью $\nu_1(n)$, в предыдущее состояние - с вероятностью $\nu_2(n)$ и остается в том же состоянии с вероятностью - $\nu_3(n}$ (3).

При $n \to \infty$ значения:
$\nu_1 \to p,\nu_2 \to p, \nu_3 \to 1-2p$. (4)

На основании (4) при $n \to \infty$ случайная величина $S_n$ слабо сходится к случайной величине $S$:
$S_n \to S$. (5)

Случайная величина $S$ представляет из себя простое случайное блуждание со счетным числом состояний. Начальное значение данного случайного блуждания $S_0=0$.

На основании (4) вероятность перехода в следующее состояние у данного случайного блуждания равна $p$, вероятность возврата в предыдущее состояние также равна $p$, вероятность остаться в том же состоянии равна $1-2p$. (6)

На основании (1), (6) математическое ожидание случайной величины $S$ равно: $M(S)=0$, (7) поэтому это симметричное случайное блуждание.

Бесконечное симметричное случайное блуждание имеет нормальную функцию распределения с математическим ожиданием, на основании (7), равным 0 и среднеквадратичным отклонением, на основании (1), (6): $\sigma(S)=\sqrt {2pn}$. (8)

Слабая сходимость (5) эквивалентна сходимости по распределению.

Обозначим распределение случайной величины $S_n$ - $G_n$, тогда сказанное можно записать в виде сходимости по распределению:
$G_n \to N(0, \sqrt {2pn})$. (9)

Пусть арифметическая функция $R(n)=\sum_{i=1}^n {f(i)}$, где арифметическая функция $f(n)$ рассматривалась в первой части задачи.

Тогда выражение (9) можно записать в виде:
$\lim_{n \to \infty} {P(R(n)/\sqrt{2pn} \leq y)=F(y)$, (10)
где $F(y)$ - функция стандартного нормального распределения.

[RIP]

vicvolf в сообщении #1260892 писал(а):

Необходимо определить предельную функцию распределения для случайной величины $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, где $x_i$ - случайная величина, рассмотренная в первой части задачи.

Случайные величины $x_i$ определены на разных вероятностных пространствах, поэтому говорить об их сумме бессмысленно: она тупо не определена.
Вы можете, конечно, рассмотреть независимые (в совокупности) случайные величины $x_1,x_2,\dotsc$ с нужными Вам распределениями и что-то про них доказать, но к предыдущей задаче это не имеет никакого отношения.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1260900 писал(а):

Случайные величины $x_i$ определены на разных вероятностных пространствах, поэтому говорить об их сумме бессмысленно: она тупо не определена.

На основании Леммы 3 на стр. 123 в книге Боровкова "Теория вероятностей", если $x_n \to x$ (слабо сходится), что эквивалентно сходимости по распределению $F_n \to F$, то можно на одном вероятностном пространстве построить случайные величины $x'_n,x'$ такие, что $P(x'_n<y)=P(x_n<y) =F_n(y),P(x'<y)=P(x<y) =F(y)$ и $x'_n \to x'$ (почти всюду).
Вот о сумме таких случайных величин я и говорю. У них такое же распределение, как у $x_n$, и находятся они в одном вероятностном пространстве.

[RIP]

vicvolf в сообщении #1261237 писал(а):

…можно на одном вероятностном пространстве построить случайные величины $x'_n,x'$ такие, что $P(x'_n<y)=P(x_n<y) =F_n(y),P(x'<y)=P(x<y) =F(y)$ и $x'_n \to x'$ (почти всюду).
Вот о сумме таких случайных величин я и говорю.

Можно. Вот только эти $x'_n$ и $x'$ не будут иметь никакого отношения к исходным $x_n$ и $x$ (кроме того, что распределения у них совпадают). Вы можете что угодно доказывать про $\sum_{i=1}^{n}x'_{i}$, но это никак не связано ни с $\sum_{i=1}^{n}x_i$ (как я уже написал, эта сумма вообще не определена, поскольку Вы пытаетесь складывать функции с разными областями определения), ни с $\sum_{i=1}^{n}f(i)=n\mathbb{E}x_n$.

[vicvolf]

Просьба проверить.

Необходимо определить предельную функцию распределения для случайной величины $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, где случайные величины $x_i$ имеют функции распределения: $F_n(x)=(0, x<-1;\nu_1(n),-1 \leq x<0;1-\nu_2(n),0 \leq x<1;1,x \geq 1)$.

Предположим, что существуют пределы: $\lim_{i \to \infty} {\nu_1(i)}=\lim_{i \to \infty} {\nu_2(i)}=p$ ,$\lim_{i \to \infty} {\nu_3(i)}=1-2p$.

Решение

Случайную величину $S_n$ можно представить в виде:
$S_n=S_{n-1}+x_n$.(2)

На основании (2) $S_n$ является цепью Маркова.

Учитывая, что вероятности $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ зависят от $n$, то $S_n$ является неоднородной цепью Маркова с конечным $(2n+1)$ числом состояний.

В каждое следующее состояние данная цепь переходит с вероятностью $\nu_1(n)$, в предыдущее состояние - с вероятностью $\nu_2(n)$ и остается в том же состоянии с вероятностью - $\nu_3(n}$ (3).

При $n \to \infty$ случайная величина $S_n$ слабо сходится к случайной величине $S$:
$S_n \to S$. (5)

Случайная величина $S$ представляет из себя простое случайное блуждание со счетным числом состояний. Начальное значение данного случайного блуждания $S_0=0$.

Вероятность перехода в следующее состояние у данного случайного блуждания равна $p$, вероятность возврата в предыдущее состояние также равна $p$, вероятность остаться в том же состоянии равна $1-2p$. (6)

На основании (6) математическое ожидание случайной величины $S$ равно: $M(S)=0$, (7) поэтому это симметричное случайное блуждание.

Бесконечное симметричное случайное блуждание имеет нормальную функцию распределения с математическим ожиданием, на основании (7), равным 0 и среднеквадратичным отклонением, на основании (6): $\sigma(S)=\sqrt {2pn}$. (8)

Слабая сходимость (5) эквивалентна сходимости по распределению.

Обозначим распределение случайной величины $S_n$ - $G_n$, тогда сказанное можно записать в виде сходимости по распределению:
$G_n \to N(0, \sqrt {2pn})$. (9)

[vicvolf]

Хотелось бы поговорить о терминах.

Мы привыкли к термину "Распределение" или "Функция распределения" по отношению к случайной величине в теории вероятности. Но термин "Распределение" используется также в теории чисел. Например, "Распределение простых чисел в натуральном ряде" или "Распределение числа простых делителей в натуральном ряде" и.т.д. Конечно можно считать , что это просто - жаргон.

RIP в сообщении #1259344 писал(а):

(Ну, и «предельное распределение для $f$» — это жаргон, а не математическая формулировка.)

Но после того, как даны математические формулировки -

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$. В частности, можно говорить о мат. ожидании $\mathbb{E}\xi_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и дисперсии $\mathbb{D}\xi_{n}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}\right\rvert^{2}-\left\lvert\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\bigl\lvert f(k)\bigr\rvert^{2}-\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\right\rvert^{2}$, а для вещественной $f$ — о функции распределения $F_{\xi_{n}}(x)=\frac{1}{n}\bigl\lvert\{k\leqslant n:f(k)\leqslant x\}\bigr\rvert$ и характеристической функции $\varphi_{\xi_{n}}(t)=\mathbb{E}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t\xi_{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tf(k)}$.

можно это жаргоном не считать.

Например, можно говорить , что "случайная величина имеет распределение, как некоторая арифметическая функция"? Чтобы не употреблять более длинное выражение, что "случайная величина имеет распределение, как другая случайная величина, которая соответствует арифметической функции". При этом соответствие понимать в написанном выше смысле.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1260900 писал(а):

Случайные величины $x_i$ определены на разных вероятностных пространствах, поэтому говорить об их сумме бессмысленно: она тупо не определена.
Вы можете, конечно, рассмотреть независимые (в совокупности) случайные величины $x_1,x_2,\dotsc$ с нужными Вам распределениями и что-то про них доказать, но к предыдущей задаче это не имеет никакого отношения.

Пусть некоторую арифметическую функцию можно представить, как сумму других арифметических функций:

$R(n)=\sum_{i=1}^n {f(i,n)$.

При этом $\lim_{n \to \infty} {f(i,n)} = C$ и ряд $\sum_{i=1}^\infty {f(i,n)}$ в нужной области сходится равномерно (возможно к бесконечности).

Тогда найдем:

$$\lim_{n \to \infty} {R(n)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n {f(i,n)}=\sum_{i=1}^\infty {\lim_{n \to \infty} { f(i,n)}}=C \sum _{i=1}^\infty {1}= C \cdot \infty .$$

Теперь для случайных величин.

Мы образуем последовательность случайных величин $x_n$, которая соответствует арифметической функции $f(i,n)$.

Последовательность случайных величин $x_n$ слабо сходится к случайной величине $x$: $x_n \to x$. Это соответствует пределу арифметической функции: $\lim_{n \to \infty} {f(i,n)} = C$.

На вероятностном пространстве, где определена случайная величина $x$, построим случайную величину $nx$.

Поэтому:

$$\lim_{n \to \infty} {P(R(n)<y)}=G(y).$$

является предельным распределением случайной величины $nx$ при $n \to \infty$ .

[vicvolf]

RIP Уточню последнее сообщение.
Правильно ли доказательство?

Утверждение
$\lim_{n \to \infty} {P(R(n)/\sqrt {2pn} <y)}=G_1(y)$, (1)
где $G_1(y)$ - функция стандартного нормального распределения, а $R(n)=\sum_{i=1}^{n}{f(i)}$, $f(i)$ - из первой задачи.

Доказательство

Образуем бесконечную сумму из случайных величин $x$ первой задачи. Обозначим эту сумму $S$.

Случайная величина $S$ является бесконечным симметричным случайным блужданием.

Известно, что такое бесконечное симметричное случайное блуждание имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным 0 и средним квадратичным отклонением $\sqrt {2pn}$.

Последнее можно записать в виде:

$$P(S<y)=P(\sum_{i=1}^{\infty}1 \cdot x<y)=P(\sum_{i=1}^{\infty}1 \cdot \lim_{n \to \infty}{f(n)}<y) = P(\sum_{i=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty} {f(n)} <y)=N(0,\sqrt{2pn}).(2)$$

Рассмотрим:
$\lim_{n \to \infty} {P(R(n)<y)}=\lim_{n \to \infty} {P(\sum_{i=1}^{n} {f(i)}<y)$.(3)

По признаку равномерной сходимости функциональных рядов (даже при сходимости к бесконечности), так как $|f(n)| \leq 1$, то получим:
$\lim_{n \to \infty} {P(\sum_{i=1}^{n} {f(i)}<y)=P(\sum_{i=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty} {f(n)} <y)$. (4)

Поэтому на основании (2), (3), (4) получим:
$P(\sum_{i=1}^{\infty} {\lim_{n \to \infty} {f(n)} <y)}=\lim_{n \to \infty} {P(R(n)<y)}=N(0,\sqrt{2pn})}$. (5)

Из (5) вытекает (1)

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1267300 писал(а):

По признаку равномерной сходимости функциональных рядов (даже при сходимости к бесконечности), так как $|f(n)| \leq 1$, то получим:
$\lim_{n \to \infty} {P(\sum_{i=1}^{n} {f(i)}<y)=P(\sum_{i=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty} {f(n)} <y)$. (4)

В (4) используется не только равномерная сходимость функциональных ряда:
$\lim_{n \to \infty} {\sum_{i=1}^{n} {f(i)}=\sum_{i=1}^{\infty} \lim_{n \to \infty} {f(n)}$,
но и сходимость к предельному распределению.