случайная величина и вероятности её значений

[Aiyyaa]

помогите мне пожалуйста с задачей по теории вероятностей. Случайная величина $\eta$ является средним арифметическим 1600 независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 2, и дисперсией, равной 4. Нужно найти вероятность того, что $\eta$ принимает значения в промежутке (1.95;2.05).
Подскажите пожалуйста, как начать решать данную задачу.

[Lia]

Центральная предельная теорема.

[Aiyyaa]

вот центральная предельная теорема:
последовательность случайных величин $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n,...$ удовлетворяет центральной предельной теореме, если для любого $x\in R$
$P(\frac{\xi_1+...+\xi_n-M(\xi_1+...+\xi_n)}{ \sqrt{D(\xi_1+...+\xi_n)}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

но в задаче случайная величина это среднее арифметическое этих 1600 случайных величин, а не сумма. И так как эти величины независимые, то математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, и также и с дисперсией.
То есть, как применить эту теорему?

[provincialka]

Если величину делят на $n$, то ее матожидание делится на $n$, а дисперсия -- на $n^2$. Как при этом изменится дробь в скобках?

Среднее арифметическое будет иметь нормальное распределение, как и сумма с.в.

UPD почти нормальное, в пределах точности вычислений

[Lia]

Aiyyaa в сообщении #1260645 писал(а):

но в задаче случайная величина это среднее арифметическое этих 1600 случайных величин, а не сумма.

А по сумме никак среднее арифметическое не найти?

[Aiyyaa]

так как $\eta$ это среднее арифметическое, а в дроби сумма, то нужно делить, и поэтому дробь
$P(\frac{\xi_1+...+\xi_n-M(\xi_1+...+\xi_n)}{ \sqrt{D(\xi_1+...+\xi_n)}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
принимает вид
$P(\frac{ \frac{1}{n} \cdot (\xi_1+...+\xi_n)- \frac{1}{n}\cdot M(\xi_1+...+\xi_n)}{ \sqrt{D(\xi_1+...+\xi_n) \cdot \frac{1}{n^2}}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
?

[Lia]

Да. Видите среднее арифметическое?

[Aiyyaa]

так как $\frac{1}{n}\cdot M(\xi_1+...+\xi_n)=M(\right \frac{\xi_1+...+\xi_n}{n} )\left =2$ и
$D(\xi_1+...+\xi_n) \cdot \frac{1}{n^2}=D(\right \frac{\xi_1+...+\xi_n}{n^2})\left =4 $
то дробь становится
$P(\frac{ \frac{1}{1600} \cdot (\xi_1+...+\xi_n)- 2}{ \sqrt{4}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
?

Цитата:

Если величину делят на $n$, то ее матожидание делится на $n$, а дисперсия -- на $n^2$

почему дисперсия делится на $n^2$?

[Xaositect]

Aiyyaa в сообщении #1260939 писал(а):

почему дисперсия делится на $n^2$?

А что такое дисперсия?

[Aiyyaa]

Xaositect в сообщении #1260944 писал(а):

А что такое дисперсия?

дисперсия это матожидание от квадрата случайной величины минус маожидание случайной величины в квадрате:
$D\xi=M(\xi^2)-(M\xi)^2$

[Xaositect]

И если мы разделим $\xi$ на $n$, то как изменится $\xi^2$ и $(M\xi)^2$?

[Aiyyaa]

Xaositect в сообщении #1260961 писал(а):

И если мы разделим $\xi$ на $n$, то как изменится $\xi^2$ и $(M\xi)^2$?

если делить $\xi$ на $n$, то получится $\frac{\xi}{n}$, тогда $\xi^2=\frac{\xi^2}{n^2}$, а её матожидание будет $M\ \frac{\xi}{n}=\frac{1}{n}M\xi$, тогда $(M\xi)^2=\frac{1}{n^2}(M\xi)^2$
вроде понятно, почему дисперсия делится на $n^2$
так как дальше с дробью?

[Xaositect]

А что непонятно с дробью?

[Aiyyaa]

как мне применить данную дробь

$P(\frac{ \frac{1}{1600} \cdot (\xi_1+...+\xi_n)- 2}{ \sqrt{4}}\leqslant x ) \mapsto \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt$
чтобы найти вероятность того, что $\eta$ принимает значения в промежутке (1.95;2.05)?

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1260939 писал(а):

так как
$D(\xi_1+...+\xi_n) \cdot \frac{1}{n^2}=D(\right \frac{\xi_1+...+\xi_n}{n^2})\left =4 $

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий

$$\frac 1 {n^2} \mathsf D \sum_{i=1}^n\xi_i = \frac 1 {n^2} \sum_{i=1}^n \mathsf D \xi_i = \frac 4 n.$$

Следовательно,

$$\mathsf P \left\{\sqrt n \frac {\eta - 2} 2 \le x \right\} \to \Phi(x).$$

Перепишем

$$\mathsf P \left \{\sqrt n \frac {\eta - 2} 2 \le x \right\} = \mathsf P \{\eta \le 2+ 2x /\sqrt n \}$$

Теперь нужно подобрать два значения $x$, такие чтобы получились границы промежутка (1.95;2.05).

-- Вт 31.10.2017 23:16:55 --

Затем воспользоваться таблицами или программой для получения значений $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$.