А Вы разобрались с тем, почему это пространство гомеоморфно стоуновскому пространству булевой алгебры с линейным базисом, изоморфным отрезку
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
действительной прямой?
Вроде получается довольно несложно. Пусть

есть сия алгебра. Тогда элементами

являются подмножества полуинтервала

вида
где

, а операции совпадают с обычными теоретико-множественными операциями объединения, пересечения и дополнения в

. Элементы стоуновского пространства

--- это простые идеалы алгебры

. Соответствие
есть биекция между

и множеством непустых собственных начальных сегментов отрезка
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
Ну а теперь определим гомеоморфизм

пространства

на пространство "две стрелки". Для

полагаем
где

, если сегмент

не содержит наибольшего элемента, и

в противном случае.
То, что

есть биекция --- очевидно. Значит, нужно всего лишь показать, что

переводит элементы базы пространства

в открытые подмножества "двух стрелок" и наоборот.
Вспомним, что в

базой топологии является семейство множеств
где

.
Легко проверить, что если

, то
Значит,
является (конечным) объединением элементов базы, то есть открыто. С другой стороны, для
![$U = (\{ 0 \} \times (a,b]) \cup (\{ 1 \} \times [a,b))$ $U = (\{ 0 \} \times (a,b]) \cup (\{ 1 \} \times [a,b))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/f/3ff3fa48788d681388a0e9d8ef7b1bfc82.png)
справедливо
элемент базы. Таким образом,

и

непрерывны, то есть

--- гомеоморфизм.
P. S. Таким образом, положительные ответы на первые три вопроса топикстартера следуют из теоремы Стоуна

Положительный ответ на четвёртый вопрос следует из безатомности

. Положительный ответ на пятый вопрос очевиден. Ну а положительный ответ на шестой вопрос следует из того, что алгебра

отличается от алгебры, построенной на порядке
![$[0,1] \cap \mathbb{Q}$ $[0,1] \cap \mathbb{Q}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/d/bdd7c2e27ff57228d0c898faaa92fc1f82.png)
.