Минимальная сумма n-ых степеней расстояний

[slavav]

Обратную замену.
Пусть $f: A \to \mathbb{R}$. (В нашем случае $A$ - треугольник).
Пусть замена $h: B \to A$. (В нашем случае $B$ - тоже треугольник, но другой. А $h$ - поворот треугольника). Замена - биекция.
Определим $g(x) = f(h(x))$.
Очевидно что $g: B \to \mathbb{R}$.
Рассмотрим гипотенузу $B' \subset B$.
Какое множество отображается в гипотенузу? $A' = h^{-1}(B')$.

Эту общую схему я и применил. Чтобы построить катет я применил обратную замену $h^{-1}$ к гипотенузе.

-- 30.10.2017, 21:22 --

Rusit8800 в сообщении #1260560 писал(а):

slavav в сообщении #1260541 писал(а):

Замена верная, катет не тот.

Как это? Разве замена не определяет однозначно на какой катет отображать гипотенузу? Или вы опечатались?

Я ошибся, перепутал катеты.

-- 30.10.2017, 21:27 --

Rusit8800 в сообщении #1260560 писал(а):

Кстати, вот что еще не понятно. Вы говорите про катеты, а на самом деле там плоскости.

-- 30.10.2017, 21:14 --

Это же параметризации в двухмерном пространстве, а мы имеем дело с трехмерным.

Мы решаем задачу о минимуме функции двух переменных определённой на треугольнике. Плоскость там ровно одна.
Когда я говорю о гипотенузе и катете я имею ввиду отрезки на этой плоскости.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1260574 писал(а):

$f: A \to \mathbb{R}$

Это функция, сопоставляющая каждой точки внутри треугольника некоторое значение функции $f(x, y) = ax^p + by^q + c(1 - x - y)^r$.

slavav в сообщении #1260574 писал(а):

Рассмотрим гипотенузу $B' \subset B$

У бесконечного множества бесконечно много подмножеств. Нужно уточнить, что за $B'$.
Соответственно и неясно ,что это за множество $A'$

slavav в сообщении #1260574 писал(а):

$A' = h^{-1}(B')$

slavav в сообщении #1260574 писал(а):

Я ошибся, перепутал катеты.

Проблема в том, что я даже не могу понять где вы конкретно что-то перепутали

slavav в сообщении #1260574 писал(а):

Мы решаем задачу о минимуме функции двух переменных определённой на треугольнике.

Да, но саму функцию мы рассматриваем в трехмерном пространстве
$z = ax^p + by^q + c(1 - x - y)^r$.

-- 30.10.2017, 21:47 --

slavav в сообщении #1260574 писал(а):

Когда я говорю о гипотенузе и катете я имею ввиду отрезки на этой плоскости.

Но откуда могут быть катеты на "барицентрической" плоскости? Ведь треугольник там общего вида.

[slavav]

Введя $A, A', B, B', h$ я попытался проиллюстрировать что такое замена аргументов функции и как её применять. В этой теме и само такое объяснение и ваши вопросы по нему являются лишними. Сожалею что привёл его здесь.

Функции $f$ и $g$ определены на плоскости. Нельзя рассматривать такую функцию в пространстве. Если вы желаете рассмотреть в пространстве график такой функции, то имеете полное право. Я в своих рассуждениях не затрагивал графики функций.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1260606 писал(а):

Функции $f$ и $g$ определены на плоскости. Нельзя рассматривать такую функцию в пространстве.

А как ее определить на плоскости? Не хватит степеней свободы. Здесь нет зависимости $y(x)$. Переменные равноправны.

-- 31.10.2017, 10:30 --

И что бы тогда подразумеваете под катетами? И как вы определяете, где значение функции больше или меньше, если нет координаты $z$?

-- 31.10.2017, 10:43 --

Мне понятна третья часть, но полностью не понятна четвертая.В третьей части вы по сути проверяете значение функции на одной из границ области определения, которую вы называете "гипотенузой", и показываете ,что найдется точка внутри треугольника, значение функции в которой меньше, чем на этой границе, а в четвертой вы каким то образом сводите задачу проверки функции на оставшихся границах, которые вы называете "катетами", к уже рассмотренной границе - "гипотенузе". Это все, что я понял.

Можно как-то по строже определить эти "катеты" и "гипотенузы"? И опять же, непонятно, как такую функцию можно рассматривать на двухмерной плоскости, если переменные равноправны.

[slavav]

Вы не понимаете разницы между функцией и её графиком. Функция двух переменных определена на плоскости. Там и проводится всё рассмотрение в четвёртой части. График такой функции лежит в пространстве, но это не имеет отношения к четвёртой части.

И гипотенузу и катеты я определил строго как подмножества плоскости. Ищите раньше в этой теме.

Вы правильно поняли четвёртую часть. Там больше ничего нет.

Если четвёртая часть кажется сложной, то можно повторить третью часть ещё два раза для двух оставшихся сторон. Это делается по аналогии: придумываете параметризацию, сужаете функцию до функции на отрезке $[0, 1]$, анализируете знак производной на правом конце.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1260745 писал(а):

Если четвёртая часть кажется сложной, то можно повторить третью часть ещё два раза для двух оставшихся сторон. Это делается по аналогии: придумываете параметризацию, сужаете функцию до функции на отрезке $[0, 1]$, анализируете знак производной на правом конце.

Получилось для одного катета так:
Подставляя пару $(0,y_0)$, где $\[{\text{0}} \leqslant {y_0} \leqslant 1\]$, получим

$$\[g(t) = b{({y_0}t)^q} + c{(1 - {y_0}t)^r} = B{t^q} + c{(1 - {y_0}t)^r}\]$$

$$g'(t) = B{t^{q - 1}}q - cr{y_0}{(1 - t{y_o})^{r-1}}$$

$$\[\begin{gathered} g'\left( {\frac{1}{{{y_0}}}} \right) = Bq{\left( {\frac{1}{{{y_0}}}} \right)^{q - 1}} > 0 \Rightarrow \hfill \\ g\left( {\frac{1}{{{y_0}}} - \varepsilon } \right) < g\left( {\frac{1}{{{y_0}}}} \right) \Rightarrow \hfill \\ f\left( {0,{y_0}\left( {\frac{1}{{{y_0}}} - \varepsilon } \right)} \right) < f\left( {0,{y_0}\left( {\frac{1}{{{y_0}}}} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Проблема только в том, что $y_0(t)$ зависит от $y_0$.

-- 31.10.2017, 11:25 --

Иначе от отрицательной части не избавиться.

-- 31.10.2017, 11:29 --

Хотя стоп, кажется,я какой-то бред написал.

-- 31.10.2017, 11:33 --

Странно, что единственная правильная параметризация "катета" ни к чему хорошему не приводит. Может способ доказательства уже не годится?

[slavav]

Хорошая попытка. Параметризация не годится. Вам нужна линейная параметризация $(x(t), y(t))$ с такими свойствами:
$x(0) = 0, y(0) = 1, x(1) = x_0, y(1) = 0$. То есть, вы строите отрезок от вершины $(0, 1)$ до точки на катете $(x_0, 0)$. Постройте её (параметризацию) и подставьте в $f$.

-- 31.10.2017, 13:34 --

Параметризаций для катетов две по количеству катетов. Та что я привёл оканчивает отрезок на горизонтальном катете $y = 0$. Возможно вы пытались работать с вертикальным катетом? В этом случае попробуйте описать свойства этой параметризации самостоятельно.

[Rusit8800]

Кажется я только сейчас понял то, что вы уже неделю мне пытались объяснить. Вы берете точку на какой нибудь границе, например, на гипотенузе $AB$, соединяете ее с противоположной вершиной, получается чевиана $CC_1$ к стороне $AB$. Затем вы доказываете, что для любой чевианы $CC_1$ значение функции в точке $C_1$ будет больше, чем значение в точке на $CC_1$, близкой к $C_1$. Повторяя то же доказательство для $BC$ и $AC$ мы получим, что значения функции в точках, близких к границам и находящимся внутри треугольника меньше, чем на самих границах, значит минимум лежит внутри треугольника.

[slavav]

Да, вы всё поняли правильно. А я узнал термин чевиана.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1260823 писал(а):

Да, вы всё поняли правильно.

Отлично, тогда начну в параметризации $AA_1$. Буду рассматривать случай $p=q=r=n$, поскольку обобщать нет смысла.

slavav в сообщении #1260823 писал(а):

А я узнал термин чевиана.

Да, этот термин малоизвестен,что странно, так как он часто прилагается к теореме Чевы, которая весьма известна.

-- 31.10.2017, 14:52 --

Параметризация $AA_1$:

$$\[\begin{gathered} x(t) = {x_1}t \hfill \\ y(t) = 1 - t \hfill \\ \end{gathered} \]$$

$\[0 \leqslant {x_1} \leqslant 1\]$
Сужение функции $f$ в $g$:

$$\[\begin{gathered} g(t) = f\left( {x(t),y(t)} \right) = f\left( {{x_1}t,1 - t} \right) = a{({x_1}t)^n} + b{(1 - t)^n} + c{(1 - (1 - t) - {x_1}t)^n} = \hfill \\ A{t^n} + C{(1 - {x_1})^n} + b{(1 - t)^n} \hfill \\ g'(t) = A{t^{n - 1}}n - b{\left( {1 - t} \right)^{n - 1}}n \hfill \\ g'(1) = An > 0 \Rightarrow \hfill \\ g(1 - \varepsilon ) < g(1) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

-- 31.10.2017, 15:00 --

Сейчас сделаю то же самое с $BB_1$.

-- 31.10.2017, 15:03 --

$$\[\begin{gathered} x(t) = 1 - t \hfill \\ y(t) = {y_2}t \hfill \\ 0 \leqslant {y_2} \leqslant 1 \hfill \\ g(t) = f\left( {x(t),y(t)} \right) = f\left( {1 - t,{y_2}t} \right) = a{(1 - t)^n} + b{({y_2}t)^n} + c{(1 - (1 - t) - {y_2}t)^n} = \hfill \\ B{t^n} + C{(1 - {y_2})^n} + a{(1 - t)^n} \hfill \\ g'(t) = B{t^{n - 1}}n - a{\left( {1 - t} \right)^{n - 1}}n \hfill \\ g'(t) = Bn > 0 \Rightarrow \hfill \\ g(t - \varepsilon ) < g(t) \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \]$$