Цилиндр с газом и поршнем

[fred1996]

Цилиндрический сосуд разделен плотно прилегающим поршнем. Слева от которого находится моноатомный идеальный газ, а справа вакуум и идеальная гуковская пружина.
Изначально пружина недеформирована.
Теперь поршень освобождают, и он тихонько без трения (предположим поршень массивный) сдавливает пружину, пока система не приходит в равновесие. Считаем, что у нас имеется абсолютная теплоизоляция. Определить, как изменится температура и давление газа, если объем удвоился. Задачку я когда-тот давно подсмотрел в Кванте.
Интересно, что в исходных данных никак не фигурируют ни упругие свойства пружины, ни какие-то геометрические размеры.

[DimaM]

fred1996

(Оффтоп)

Давление получается 3/7 начального, температура 6/7.

Задачка подробно разобрана в моей любимой "Физика в примерах и задачах" Бутикова, Быкова, Кондратьева.
Я ее также встречал на областной олимпиаде в Иркутской области лет 15 тому назад.

[fred1996]

DimaM

(Оффтоп)

верно. Я просто сейчас натаскиваю одного перспективного олимпиадника на газовые законы. Наткнулся на эту задачку. Она мне понравилась своей лаконичностью.
В марте месяце будет очередной финал Американской олимпиады. Пик активности школьников в подготовке к ней, это январь-февраль. Но уже сейчас появлятся наиболее целеустремленные. Так что вскорости и моя активность в этом разделе повысится. Как в январе-феврале прошлого года, надеюсь. Всегда появляются какие-то интересные пропущенные задачки.
А Бутиков нам читал курс лекций по механике на первом курсе в первом семестре. 1974-75 года. Тогда совсем молодой еще.

[DimaM]

fred1996

(Оффтоп)

Еще хорошая задачка из той же книжки:
теплоизолированный вертикальный цилиндр перекрыт на высоте $H$ поршнем площади $S$. В цилиндре газ с теплоемкостью $C_V$. На поршень кладут груз массы $m$. Найти установившуюся высоту, а также температура.
Дальше можно груз снять, и опять найти высоту и температуру (они, естественно, будут выше первоначальных).

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1260686 писал(а):

Теперь поршень освобождают, и он тихонько без трения (предположим поршень массивный) сдавливает пружину, пока система не приходит в равновесие.

Если никакого трения нет (все процессы в системе обратимые), то поршень будет колебаться бесконечно долго, сколь массивным бы он ни был.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1260711 писал(а):

Если никакого трения нет (все процессы в системе обратимые), то поршень будет колебаться бесконечно долго, сколь массивным бы он ни был.

Предполагается, что трения нет между поршнем и стенкой. Но есть вязкость у газа какая-то.

[fred1996]

realeugene
Ну а для таких востроглазых предлагаю посчитать период этих колебаний :)

Кстати да, в таких задачках с пружинами это всегда для меня был открытый вопрос. Потому как в других задачах предлагается посчитать период малых колебаний.

-- 30.10.2017, 20:24 --

DimaM в сообщении #1260712 писал(а):

realeugene в сообщении #1260711 писал(а):

Если никакого трения нет (все процессы в системе обратимые), то поршень будет колебаться бесконечно долго, сколь массивным бы он ни был.

Предполагается, что трения нет между поршнем и стенкой. Но есть вязкость у газа какая-то.

И что эта вязкость физически дает? Если газ вязкий внутри себя, так и фиги с ним. Он же не теряет из-за этого энергию. А если он вязко себя ведет с поршнем или стенками, это означает какой-то теплообмен. Типа перпендикулярно удар абсолютно упругий, а горизонтально гасится что ли?

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1260713 писал(а):

Ну а для таких востроглазых предлагаю посчитать период этих колебаний :)

При устремлении массы поршня к бесконечности этот период колебаний устремляется к бесконечности, но через один период система вернётся к исходному состоянию. И будет возвращаться туда бесконечное число раз. С другой стороны, в случае массивного поршня и отсутствии трения скорость диссипации энергии в газе тоже уменьшается, поэтому, закон затухания этих колебаний сам по себе интересен. В качестве адекватного первого приближения представляется линейная зависимость силы вязкого трения от скорости движения поршня. Мы хотим посмотреть, как характер колебаний будет изменяться при устремлении массы поршня к бесконечности. Тогда имеем, что работа силы вязкого трения за период колебаний пропорциональна скорости поршня при прохождении им положения равновесия, а кинетическая энергия - пропорциональна квадрату этой скорости и пропорциональна массе поршня. При этом кинетическая энергия от массы поршня не зависит. Так что скорость поршня пропорциональна $M^{-1/2}$, а равно, обратно пропорциональны квадратному корню из массы поршня и потери энергии за период. Так что, устремив массу поршня к бесконечности при наличии только вязкостного трения мы получим бесконечно колеблющийся поршень.

А период при отсутствии потерь считается тривиально интегрированием дифура. К сожалению, колебания нелинейные.

[fred1996]

Ну да, там ведь даже амплитуды вправо и влево от равновесного положения будут отличаться.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1260713 писал(а):

Ну а для таких востроглазых предлагаю посчитать период этих колебаний :)

И этот период должен быть гораздо больше времени прохода звуковой волны по цилиндру.

-- 31.10.2017, 12:07 --

Кстати, равновесный объем в процессе колебаний (считая расширение газа адиабатическим) нужно находить из уравнения

$$\left(\dfrac{V_0}{V}\right)^{5/3}-\dfrac{3}{7}\dfrac{V}{V_0}+\dfrac{3}{7}=0,$$

и он явно не равен окончательно-равновесному $2V_0$.

[fred1996]

Это да. Кстати прикольно. Вот так начинаешь по косточкам разбирать задачку. Оказывается ничему верить нельзя. А ведь это достаточно очевидно, что равновесия разные. Но это ж надо сначала заставить себя подумать на эту тему. В данном случае движущийся поршень забирает часть энергии у системы, тем самым сдвигая положение равновесия.

[wrest]

Нет теплообмена с внешним миром, поршень двигается медленно - процесс адиабатический, квазистатический. Для идеального газа адиабата такая:
$pV^{\gamma}=const$, $TV^{\gamma-1}=const$, а для одноатомного газа $\gamma=5/3$
Далее индексы 1 - до расширения, 2 - после.
Тогда $p_1V_1^{5/3}=p_2V_2^{5/3}$
По условию $V_2=2V_1$, тогда $p_1V_1^{5/3}=p_2(2V_1)^{5/3}$ и $\dfrac{p_1}{p_2}=2^{5/3}$, соответственно $T_1V_1^{5/3-1}=T_2(2V_1)^{5/3-1}$ и $\dfrac{T_1}{T_2}=2^{5/3-1}=2^{2/3}$
Проверяем соответствие закону Менделеева-Клапейрона
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{p_1T_2}{p_2T_1}$
Подставляем, получаем
$\dfrac{p_1T_2}{p_2T_1}=\dfrac{2^{5/3}}{2^{2/3}}=2$ - всё сходится.

Ответ:
$\dfrac{p_1}{p_2}=2^{5/3}=2\sqrt[3]{4}\approx 3,2$
$\dfrac{T_1}{T_2}=2^{2/3}= \sqrt[3]{4} \approx 1,6$

[wrest]

fred1996 в сообщении #1260686 писал(а):

Интересно, что в исходных данных никак не фигурируют ни упругие свойства пружины, ни какие-то геометрические размеры.

Поскольку по условию

fred1996 в сообщении #1260686 писал(а):

поршень освобождают, и он тихонько без трения (предположим поршень массивный) сдавливает пружину, пока система не приходит в равновесие.

Так что есть там пружина за поршнем или нет там пружины - без разницы, это лишнее условие. Можно считать, что поршень тихонько отодвигают руками, до удвоения объема.

[DimaM]

wrest в сообщении #1260756 писал(а):

Нет теплообмена с внешним миром, поршень двигается медленно - процесс адиабатический, квазистатический.

Это, как выше уже обсуждали, другая задача.

[wrest]

DimaM в сообщении #1260867 писал(а):

Это, как выше уже обсуждали, другая задача.

Поясните пож-ста. Вот эти условия (жирным выделено мной):

fred1996 в сообщении #1260686 писал(а):

он тихонько без трения (предположим поршень массивный) сдавливает пружину, пока система не приходит в равновесие. Считаем, что у нас имеется абсолютная теплоизоляция.

Разве не говорят о том, что процесс адиабатический (у нас имеется абсолютная теплоизоляция) и квазистационарный (тихонько сдавливает)?
На мой взгляд, условие "тихонько сдавливает пока не приходит в равновесие" однозначно говорит об отсутствии каких-либо колебаний, разве нет?