Критерий Коши

[megatumoxa]

Используя критерий Коши исследовать сходимость последовательности:

$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k!}{(2k-1)(2k+1)}$$

Вот все, что я пока смог проделать:

$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$

$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos 1\cdot\cos 2\cdot\cos 3\cdot ...\cdot\cos (k-1)\cdot\cos k}{4k^2-1}$$

$$Xn=\frac{\cos 1!}{3}+\frac{\cos 2!}{15}+\frac{\cos 3!}{35}+...+\frac{\cos (k-1)!}{4(k-1)^2-1}+\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$

$\left\lvert Xn-Xp\right\rvert<\varepsilon$

$$Xn-Xp=(\frac{\cos 1!}{3}+\frac{\cos 2!}{15}+\frac{\cos 3!}{35}+...+\frac{\cos k!}{4k^2-1})-(\frac{\cos 1!}{3}+\frac{\cos 2!}{15}+\frac{\cos 3!}{35}+...+\frac{\cos p!}{4p^2-1})$$

$n>p$

$$\left\lvert Xn-Xp\right\rvert=\left\lvert\frac{\cos (p+1)!}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos k!}{4k^2-1}\right\rvert$$

$$Xn-Xp=\frac{\cos (p+1)!}{4(p+1)^2-1}+...+\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$

А что дальше делать? Вроде нужно сделать неравенство с бОльшей последовательностью, но как?
Кажется, я еще $n$ с $k$ перепутал.

[ewert]

Косинус тут лишь для отвлечения внимания (и вообще задачка если не нелепа, то тогда уж точно провокационна). Тупо оцените модуль разности сум через сумму модулей и затем ещё тупее модуль каждого косинуса единицей. Затем разбейте каждое из полученных слагаемых в разность простейших дробей.

[Someone]

(Оффтоп)

megatumoxa в сообщении #1260590 писал(а):

$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k!}{4k^2-1}$$

$$Xn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos 1\cdot\cos 2\cdot\cos 3\cdot ...\cdot\cos (k-1)\cdot\cos k}{4k^2-1}$$

Ой!

Слушайтесь ewertа, он плохому не научит.

P.S. Индекс пишут так: X_n или X_{abcd}: $X_n$ или $X_{abcd}$.

[megatumoxa]

Цитата:

Тупо оцените модуль разности сумм через сумму модулей...

Можно вот тут поподробнее? Не совсем понимаю данное действие

[Otta]

Неравенство треугольника знаете?

[megatumoxa]

Otta в сообщении #1260666 писал(а):

Неравенство треугольника знаете?

Примерно представляю, но мы по программе еще не изучали.

[Otta]

Это школа. :)
$|a+b|\le ?$

[megatumoxa]

Otta в сообщении #1260678 писал(а):

Это школа. :)
$|a+b|\le ?$

Ааа, ну это интуитивно понятно)) Я просто думал, что речь идет о какой-то более сложной интерпретации. $|a+b|\le c$

[Otta]

Кто такой $c$? его слева не было.

[megatumoxa]

Otta в сообщении #1260680 писал(а):

Кто такой $c$? его слева не было.

$|a+b|\leqslant|(a+1)+(b+1)|$ Вот так тогда? Что вообще нужно делать дальше?

[Someone]

megatumoxa в сообщении #1260750 писал(а):

$|a+b|\leqslant|(a+1)+(b+1)|$ Вот так тогда?

Разумеется, не так. И это неравенство даже неверное: подставьте, например, $a=b=-1$.

-- Вт окт 31, 2017 13:04:12 --

megatumoxa в сообщении #1260671 писал(а):

Otta в сообщении #1260666 писал(а):

Неравенство треугольника знаете?

Примерно представляю, но мы по программе еще не изучали.

Неравенство треугольника изучают в школе в курсе планиметрии. По-моему, практически сразу, как появляются треугольники. В каком конкретно классе — не помню.

[wrest]

megatumoxa в сообщении #1260750 писал(а):

Что вообще нужно делать дальше?

Использовать то, что модуль косинуса не превышает единицу, т.е. $\forall x, |\cos x|\le 1$

[megatumoxa]

При чем тут а и b? О чем речь вообще идет сейчас? Меня интересует как оценить модуль разности сумм через сумму модулей. Что мне с этим неравенством треугольников делать?

[wrest]

megatumoxa в сообщении #1260864 писал(а):

При чем тут а и b?

Вы не горячитесь, выбирайте нужное из кучки:
$|a+b|\le|a|+|b|$ и $|a-b|\le|a|+|b|$
но
$|a+b|\ge||a|-|b||$ и $|a-b|\ge||a|-|b||$

[megatumoxa]

Цитата:

$|a-b|\le|a|+|b|$

Вот это выражение?