Задачи

[Antonina]

Хрюша построил 4-х угольник ABCD и измерил расстояние до точки М, которую указал Степаша. Оказалось, что
AM? + BM? + CM? + DM? = 2S,
где S - площадь 4-х угольника. Что за 4-х угольник построил Хрюша, и что за точку указал Степаша?

Найти x и y, такие что
5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2).

Найдите решение системы:
(x1 + x2 + x3) 3 = 3x4,
(x2 + x3 + x4) 3 = 3x5,
(x3 + x4 + x5) 3 = 3x1,
(x4 + x5 + x1) 3 = 3x2,
(x5 + x1 + x2) 3 = 3x3.

Произведение трех положительных чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин. Сколько из этих чисел больше чем 1?

Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n? равна 2006? ?

По двум пересекающимся прямым с равными скоростями бегут Хрюша и Степаша. Сможет ли Филя найти точку, где он будет во все моменты времени равноудален от Хрюши и Степаши?

[Dan_Te]

Задачи - это хорошо. Но что со всем этим предлагается сделать?

[photon]

Antonina писал(а):

Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n? равна 2006? ?

1) переведите - ничего не понял
2) Используйте тег [math] - не понятно, у вас индексы, степени или умножения в системе уравнений

[LynxGAV]

$(x_1 + x_2 + x_3)^3 = 3x_4$
$(x_2 + x_3 + x_4)^3 = 3x_5$
$(x_3 + x_4 + x_5)^3 = 3x_1$
$(x_4 + x_5 + x_1)^3 = 3x_2$
$(x_5 + x_1 + x_2)^3 = 3x_3$

Погадала на картах.

[photon]

Antonina писал(а):

Найти x и y, такие что
5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2).

Вас не смущает, что переменных две, а уравнение одно? Дополнительных условий никаких?

Antonina писал(а):

Найдите решение системы:
(x1 + x2 + x3) 3 = 3x4,
(x2 + x3 + x4) 3 = 3x5,
(x3 + x4 + x5) 3 = 3x1,
(x4 + x5 + x1) 3 = 3x2,
(x5 + x1 + x2) 3 = 3x3.

Одно из решений $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0$ вне зависимости от того степени там, умножения или что другое

[dm]

Система - стандартная задача на упорядочивания.
Ответ: $(0,\ldots,0)$, $(1/3,\ldots,1/3)$, $(-1/3,\ldots,-1/3)$.
Надо доказать, что $x_1=\ldots=x_5$. Для этого предположить, что $x_1>x_2$, раскрутить цепочку неравенств, прийти к противоречию. И наоборот рассмотреть случай $x_1<x_2$.

Добавлено:
photon
Да.

[photon]

dm писал(а):

Система - стандартная задача на упорядочивания.
Ответ: $(0,0,0)$, $(1/3,1/3,1/3)$, $(-1/3,-1/3,-1/3)$.

Если быть уж совсем точным, то:
$(0,0,0,0,0)$, $(1/3,1/3,1/3,1/3,1/3)$, $(-1/3,-1/3,-1/3,-1/3,-1/3)$

[Руст]

1. Думаю условие есть
$AM^2+BM^2+CM^2+DM^2=2S$. Тогда очевидно, $AM^2+BM^2>4пл(AMB)$. Следовательно, равенство возможно только в случае, когда четырёхугольник квадрат, а М центр.
2. Не понятно условие.
3. Фактический уже решена.
4. $(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1=x+y+z-1/x-1/y-1/z>0$. Следовательно только одно из чисел больше 1.
5. Сумма цифр числа n =2 по модулю 3, а значит и число n =2 по модулю 3. Соответственно n^2 и сумма его цифр должны равняться 1 по модулю 3, что противоречит с 2006.
6. Эта точка строится легко. А я не умею тут нарисовать.

[Xarezmi]

Antonina писал(а):

Хрюша построил 4-х угольник ABCD и измерил расстояние до точки М, которую указал Степаша. Оказалось, что
AM? + BM? + CM? + DM? = 2S,
где S - площадь 4-х угольника. Что за 4-х угольник построил Хрюша, и что за точку указал Степаша??

?-chto oznachayet eto smvol...

Antonina писал(а):

Найти x и y, такие что
5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2).

dopolnitelniye uslovie net chtoli???

Antonina писал(а):

Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n? равна 2006? ?

a zdes ya nechego neponil...

Antonina pojaluyista obesnite a???

[Руст]

Из теории размерности я догадался, что ? есть возведение в квадрат, соответственно эту догадку применил и к 5 -ой задаче. Осталась невыясненной условие ещё одной задачи.

[Antonina]

Заранее извиняюсь перед вами всеми, просто я на этом форуме в первый раз
Photon, перевожу: Существует ли натуральное число n, у которого сумма цифр равна 2006, а сумма цифр n² равна 2006² ?
LynxGAV - мастер - написала все совершенно правильно
Photon, в уравнении 5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y2) все так и есть - только одно уравнение и ничего на сказано
Xarezmi, ? - означает ^2.
Всем огромное СПАСИБО!!!

[Xarezmi]

2. $5x+1 = (52x + 25)(13 - 5y + 0.5y^2)$ eto pishim tak $10x+2 = (52x + 25)(1+25 -10y +y^2)$ otsuda $(10x+2)/(52x + 25)=1+(y-5)^2$ i zdes legko, $(10x+2)/(52x + 25)\geqslant 1$ i dostanem resheni

5. Sushestvuet naturalni chislo $a$,kotoiy summa cifri rovna $b$,a summa cifr $a^2$ ravna $b^2$ dokazatelstvo: kotorie chislo mi ishshem budet takom vide : $a=11...1$ zdes kolichestvo edinict rovna $m$ i $m \in \mathbb{N}$ pust $m=2$ togda $a=11,b=2$ i $ 11^2=121$ a zdes $1+2+1=4=2^2=b^2$ $ m=3$ togda $a=111,b=3$ i $111^2=12321$ a zdes $1+2+3+2+1=9=3^2=b^2$ dlya luboe naturlanoe $m , a=10^{m-1}+10^{m-2}+...+1 , a^2= (10^{m-1}+10^{m-2}+...+1)*(10^{m-1}+10^{m-2}+...+1)=10^{m-1}*10^{m-1}+10^{m-1}*10^{m-2}+...+10^{m-1}*10+10^{m-1}*1+10^{m-1}+10^{m-2}*10^{m-1}+10^{m-2}*10^{m-2}+10^{m-2}*10^{m-3}+...+1$ zdes skolko chlen,stolko edinci, a konse-konsov edinci sostavlaet sifri ix summa rovna summa edincov ,a summa edinci rovna $m^2$ tak chto iskomie chislo $n=111...11$ ,zdes $n$ soderjayet $2006$ shtuk edinci

[Руст]

Это так, если вы оперируете в системе исчисления с основанием не меньше 2006. Вообще то это можно сделать и в десятичной системе исчисления, только брать цифры единицы не подряд идущими, а разрежёнными, например
$n=\sum_{k=0}^b 10^{3^k}$.