Велосипедист

[pogulyat_vyshel]

Это тоже очень простая задача. Велосипедист едет так, что колеса не проскальзывают по асфальту. Плоскость заднего колеса $P$ все время вертикальна; отрезок, соединяющий точки контакта заднего и переднего колеса с осфальтом, лежит в плоскости $P$ и равен по длине $a$; руль повернут таким образом, что угол между плоскостью заднего и переднего колеса равен $\alpha$. Найти траекторию центра заднего колеса.

[Dmitriy40]

При попытке нарисовать чертёж всё становится очевидным.

(Ответ)

По окружности радиуса $r = a \tg \alpha$.

Только в условии нехватает явно указания что поверхности контакта обоих колёс с асфальтом являются точками (а не просто отрезок проведён через геометрические центры поверхностей контакта), без него условия вертикальности плоскости колеса и непроскальзывания противоречивы.

[fred1996]

Ну если задачу рассматривать чисто кинематически, без динамики движения твердого тела по окружности, то

(Ответ)

окружность радиуса $\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$

Если же включить динамику, то задача некорректна, поскольку, чтобы удовлетворить такой кинематике, велосипедист должен вести себя скорее как яхтсмен, который при галсах высовывается за пределы яхты. То есть должен свеситься к центру окружности.

-- 29.10.2017, 13:30 --

Dmitriy40
У вас с уменьшением угла радиус уменьшается

[Dmitriy40]

А, точно, не тот угол написал, на чертёжике всё правильно, написал же дополнительный до $90°$ т.к. именно он в треугольнике.

(Исправленный ответ)

$r=a\tg(\pi/2-\alpha)$

[svv]

Мой ответ совпадает с ответом Dmitriy40.

(Оффтоп)

Разве что короче написать $r=a\ctg\alpha$.

fred1996
Если $\alpha=\frac{\pi}{2}$, переднее колесо ездит по окружности радиуса $a$, а траектория заднего вырождается в точку, её радиус равен нулю. Ваша формула этого не даёт. Если считать допустимыми углы $0\leqslant \alpha\leqslant\frac{\pi}{2}$, то у Вас всегда $r\geqslant \frac a{\sqrt 2}$, хотя на самом деле $r$ может быть произвольно мал. Мой велосипед лучше Вашего!

Наверняка pogulyat_vyshel готовится спросить:
1) Что, если ось руля невертикальна? (в условии, кстати, об этом ничего)
2) Что, если угол $\alpha$ зависит от времени?

[Dmitriy40]

svv в сообщении #1260354 писал(а):

Разве что короче написать

Ага, я так и хотел, но что-то тупанул переходят ли $\sin$ и $\cos$ друг в друга при такой смене угла - и не стал рисковать.

[fred1996]

svv
Что значит ось руля не вертикальна? В условии сказано, что плоскость вращения заднего колеса вертикальна, что автоматом дает вертикальность рулевой оси. Или он может задать кривой велосипед?

Да, я пропустил как-то условие, что точка касания первого колеса лежит в плоскости вращения заденго. Это конечно меняет дело и я тогда согласен с вашими решениями. То есть колеса едут по соосным окружностям разного радиуса. Заднее по радиусу $a\ctg\alpha$, а переднее по радиусу $a/\sin\alpha$

Но это если их насильственно заставить гонять по кругу. А как строго доказать, чтотэто единственно возможная траектория? А, кажется понял. Из геоментрии соотношение скоростей константа. То есть $v_2=v_1\cos\alpha$. И задача сводится к задаче следования хищник-жертва. Если у хищники скорость меньше чем у жертвы, стационарное преследование возможно только по кругу.

[Dmitriy40]

fred1996 в сообщении #1260361 писал(а):

автоматом дает вертикальность рулевой оси

Нет, не даёт: ось может лежать в вертикальной плоскости, включающей и раму и всё заднее колесо, но при этом быть наклонённой вперёд или назад. Собственно такова (наклонена назад) она у всех обычных велосипедов, смотрите внимательней (кликабельно, большая):

[fred1996]

Dmitriy40
Ну хорошо, а чем это ограничивает предложенную задачу? Она же все-равно чисто кинематическая. Какая нам разница, в какой плоскости крутится переднее колесо?
Главное чтобы предложенный угол созранялся постоянным.

[Dmitriy40]

fred1996
А я и не говорил об ограничениях, так что Ваш вопрос к svv.

[EtCetera]

Для информации: при описании геометрии реальных велосипедов и мотоциклов используется такая характеристика, как трейл.

[pogulyat_vyshel]

задача действительно получилась совсем банальная, я ее решал чисто аналитически (тоже 2-3 строчки) но если бы сразу вспомнил про мгновенный центр скоростей то и вывешивать бы не стал

[fred1996]

Есть некоторые задачи, которые решаются достаточно элегантно именно через мгновеный центр вращения.
Например как эта:
post1195452.html

[svv]

fred1996 в сообщении #1260374 писал(а):

Ну хорошо, а чем это ограничивает предложенную задачу? Она же все-равно чисто кинематическая. Какая нам разница, в какой плоскости крутится переднее колесо?

Разница в том, что появляются два разных, связанных друг с другом угла:
$\bullet$ угол $\alpha$ между плоскостью заднего и переднего колеса (данный по условию), и
$\bullet$ угол $\beta$ между прямой—пересечением плоскости переднего колеса и плоскостью земли, и отрезком, соединяющим точки касания колёс; эта прямая касательна к следу переднего колеса.
Именно угол $\beta$ войдёт в формулу для радиуса окружности: $r=a\ctg \beta$. (Трейл учитывать не будем.)

И в задаче появляется дополнительная изюминка — надо найти связь между углами $\alpha$ и $\beta$, зная угол наклона оси руля к вертикали $\gamma$.

Dmitriy40, спасибо за убедительную картинку.

[EtCetera]

Дело в том, что не учитывать трейл невозможно. Если т.н. рейк (расстояние между осями вращения руля и переднего колеса) равен 0 (т.е. ось вращения переднего колеса пересекается с осью вращения руля), то указанная в условии конфигурация (точка контакта переднего колеса лежит в плоскости заднего колеса, которая расположена вертикально) возможна только в паре частных случаев:

• когда ось вращения руля вертикальна,
• при $\alpha=\frac{\pi}{2}$.

В общем случае такая конфигурация достижима только при ненулевом рейке, и число параметров, необходимое для получения ответа, сильно возрастает (навскидку: колесная база, угол наклона оси руля, расстояние от оси вращения заднего колеса до оси вращения руля, рейк, внешний диаметр покрышек).