Кинематика. Летит диск.

[fred1996]

На диск намотаны две нерастяжимые невесомые нити, прикрепленные к потолку.
Диск летит под действием силы тяжести так, что обе нити все время натянуты.
Радиус диска $R$.
В какой-то момент времени угловая скорость вращения диска $\omega$, а угол между нитями $\alpha$.
Определить, с какой скоростью в это время летит центр диска.

[realeugene]

$\frac{\omega R}{\sin \alpha/2}$

[dovlato]

КОсинус..

[realeugene]

При косинусе искомая скорость в пределе нулевого угла между нитями не будет бесконечна.
Да, косинус.

[AnatolyBa]

Ждем продолжения. Не предложит ли автор рассмотреть динамику?

[EvGem]

У меня вышло: $2 \omega R$$\cos\alpha/2$

Суть ведь в том, что за малых промежуток времени диск одновременно проходит по направлениям нитей равные перемещения?

[fred1996]

Суть в том, что твердое тело при сложном движении имеет моментальную точку вращения. Чтобы ее найти, достаточно знать направление векторов скоростей двух его точек.
Задачка взята из Кванта.

[dovlato]

Мне легче было определить искомый вектор по двум его проекциям на заданные направления.

[fred1996]

Я тоже первый раз так решил, а потом только дошло, что точки, где нити касаются диска имеют вектора скоростей, проходящие через центр диска.
То есть задачка сводится к еще более простой геометрии.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1195628 писал(а):

точки, где нити касаются диска имеют вектора скоростей, проходящие через центр диска.

Главное, что перпендикуляры к этим скоростям - это прямые, на которых лежат сами нити. Следовательно, мгновенный центр вращения твёрдого тела находится на пересечении этих прямых. А угловая скорость вращения задана.

[fred1996]

realeugene в сообщении #1195638 писал(а):

fred1996 в сообщении #1195628 писал(а):

точки, где нити касаются диска имеют вектора скоростей, проходящие через центр диска.

Главное, что перпендикуляры к этим скоростям - это прямые, на которых лежат сами нити. Следовательно, мгновенный центр вращения твёрдого тела находится на пересечении этих прямых. А угловая скорость вращения задана.

Ну вот, всю интригу испортили для будущих поколений...

[dovlato]

Давайте всё сделаю длинно и нудно, но видно - что. Введём единичные векторы, каждый из которых параллелен 1й и 2й нитям $\mathfb e_1,\mathfb e_2$.
Введём также перпендикулярные им орты, лежащие на соответственных радиусах $\mathfb e_{1\perp},e_{2\perp}$. Вектор скорости центра диска обозначим $\mathfb v$. Выразим его через введённые векторы:

$$\mathfb v=\omega R\mathfb e_1+v_1\mathfb e_{1\perp}$$

$$\mathfb v=\omega R\mathfb e_2+v_2\mathfb e_{2\perp}$$

Oтсель

$$v^2=(\omega R)^2+v_1^2$$

$$v^2=(\omega R)^2+v_2^2$$

Значит, $v^2_2=v^2_1$, т.е. модули $v_2=v_1.$
Положим $\mathfb v=a_1\mathfb e_1+a_1\mathfb e_1,$ где $a_1, a_2$ - неизвестные числа.
Умножим скалярно 1е и 2е векторные уравнения соответственно на $\mathfb e_1,\mathfb e_2$. Получим систему

$$a_1+a_2(\mathfb e_1,\mathfb e_2)=\omega R$$

$$a_1(\mathfb e_1,\mathfb e_2)+a_2=\omega R$$

$$(\mathfb e_1,\mathfb e_2)=\cos\alpha$$

где $\alpha$ - угол между нитями. Заканчиваю до поздневшего вечера.

[dovlato]

Так вот, осталось лишь решить эту систему; её решение

$$a_1=a_2=\frac{\omega R}{1+\cos\alpha}$$

Отсюда

$$\vec v=\frac{\omega R}{1+\cos\alpha}(\vec e_1+\vec e_2)$$

$$|\vec v|=\frac{\omega R}{\cos(\alpha/2)}$$