Зависимость между обобщенными координатами и скоростями

[Knight7]

В одной задаче требовалось доказать следующее равенство:

$$\frac{\partial \mathbf{\dot{r}}}{\partial \dot{q_j}}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}$$

где $\mathbf{r}=\mathbf{r}(q_1,q_2,\dots,q_n,t)$ радиус-вектор частицы, $q_j$ ($j=1,\dots,n$) - обобщенная координата.
Это равенство следует из

$$\mathbf{\dot{r}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j} \dot{q_j}+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}$$

(дифференцируя по $\dot{q_j}$).
Однако в процессе утверждается, что

$$\frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \right )=0$$

поскольку

$$\frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \right )=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \dot{q_j}} \right )$$

а $\mathbf{r}$ не зависит от $\dot{q_j}$.

Но я не могу понять почему это так. Возьмем более простой пример: $r=r(q)$ где $q$ некая обобщенная координата, которая меняется во времени. Допустим $r(q)=q^2$. Тогда:

$$\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(\frac{\partial r}{\partial t} \right ) = \frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left(2q\dot{q} \right ) = 2q \neq 0 = \frac{\partial }{\partial t}\left(0 \right ) = \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial r}{\partial \dot{q}} \right )$$

В чем тут дело?

[Erleker]

Knight7 в сообщении #1260102 писал(а):

$$\frac{\partial }{\partial \dot{q_j}}\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \right )=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \dot{q_j}} \right )$$

Это так (вообще, если обе смешанные непрерывны, что в физике так). См. Теорема Шварца.
В вашем же контрпримере $ r=q^2$ не зависит явно от $t$ и $\frac{\partial r}{\partial t}=0$, обе части дают ноль. Вы просто тут путаете частную производную с обычным дифференцированием.

[Knight7]

Erleker в сообщении #1260107 писал(а):

Это так (вообще, если обе смешанные непрерывны, что в физике так). См. Теорема Шварца.

Мне это известно и именно поэтому хотелось разобраться с моим контрпримером.

Erleker в сообщении #1260107 писал(а):

$ r=q^2$ не зависит явно от $t$

Да, но ведь $r=q(t)$, поэтому $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} q}\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}$. Возможно мне стоило написать $r=q^2(t)$ во избежание путаницы.

Erleker в сообщении #1260107 писал(а):

Вы просто тут путаете частную производную с обычным дифференцированием

Но ведь это и есть "обычное дифференцирование", просто к остальным переменным относятся как к постоянным.

[Erleker]

У вас есть функция $r=r(q,t)$. Она зависит от времени и зависит от значений обобщенных координат. Они тоже, в свою очередь, как-то изменяются во времени и, да, соответственно могут быть выражены в конкретном случае какими-то функциями от времени $q(t)$. Но тут вас это не волнует, ведь тут вы как-бы разделяете два "вклада" в $r$, как просто от того, что прошло время, так и от того, что изменились значения $q$ (что, физически, хотя, и в конкретном случае произошло с какой-то зависимость от времени).
То есть вам просто дана функция с двумя переменными.
И вы, когда считаете в такой записи $\frac{\partial r (t,q)}{\partial t}$, полагаете $q$ константой.
Просто по определению частной производной.

А если бы у вас было известное $q(t)$ и была бы написана функция $r(t)=r(t,q(t))$, то $\frac{\partial r (t)}{\partial t}=\frac{dr}{dt}$ - то, что вы расписывали. Но тут то имеется ввиду не это.