Корень из двух и Ахиллес с черепахой

[wrest]

arseniiv в сообщении #1259707 писал(а):

Никаких лесенок нулевой высоты не рассматривается, рассматривается последовательность лесенок,

Рассматриваться должна последовательность сумм длинн ступенек в лесенке, наверное. А эта последовательность такова: $2;2;2...$

[arseniiv]

А у её предела, как уже писал mihaild, связи-то с длиной предельной кривой и нет. Ну, вы-то и сами знаете.

[Roger]

wrest в сообщении #1259713 писал(а):

Рассматриваться должна последовательность сумм длинн ступенек в лесенке, наверное. А эта последовательность такова: $2;2;2...$

Весь вопрос в том и состоит, такова она или не такова. Кто-то утверждает, что где-то там, на бесконечности, существует член последовательности равный $\sqrt{2}$, другие же говорят, что такого члена нет и есть бесконечное количество двоек.

Этот спор в переводе на человеческий язык сводится к тому, можно ли считать кривую ломаной с бесконечномалыми изломами.

Если можно, то получаем парадокс: $\sqrt{2}=2$, если нельзя, то всё интегральное и дифференциальное счисление идет коту под хвост.

И тут на помощь приходят пределы, согласно которым так считать нельзя, но если очень надо, то можно. Главное соблюдать аккуратность.

[mihaild]

Roger в сообщении #1259720 писал(а):

можно ли считать кривую ломаной с бесконечномалыми изломами

Этот вопрос предлагаю решать только после введения определения "ломаной с бесконечномалыми изломами".
Определение кривой я привел чуть раньше - непрерывное отображение из отрезка на плоскость (предлагаю еще потребовать инъективность, иначе плохо будет). Ломаная - кусочно-линейная кривая. Что такое "ломаная с бесконечномалыми изломами" - не знаю.

[Brukvalub]

Roger в сообщении #1259720 писал(а):

Кто-то утверждает, что где-то там, на бесконечности, существует член последовательности равный $\sqrt{2}$, другие же говорят, что такого члена нет и есть бесконечное количество двоек.

Эта фраза полностью бессмысленна. У последовательностей нет членов "где-то там, на бесконечности", один член последовательности никак на существование у нее предела и на его величину не влияет, наличие в последовательности бесконечного числа двоек тоже не обеспечивает ее сходимости.
В общем, полная каша и нелепица.
Может, вам лучше сначала разобраться с определениями и свойствами используемых в "парадоксе" объектов, а уж потом удивляться "парадоксам"?

[atlakatl]

Roger в сообщении #1259720 писал(а):

Если можно, то получаем парадокс: $\sqrt{2}=2$, если нельзя, то всё интегральное и дифференциальное счисление идет коту под хвост.

Вы фрик или тролль. Человек, не написавший на форуме ни одной формулы, отправляет коту Исчисление, в котором ни бум-бум.

[crazy_taxi_driver]

Вы путаете. Наоборот. Вы хотите понять основы матана на пальцах и быстро. Такое, "на пальцах" - приходит через годы. Гораздо быстрее - просто решить задачу.

Посмотрите определения. Примените теорему о сходимости интегралов. Там нужна равномерная сходимость производных кривых. Посмотрите для этого другую теорему. Убедитесь что ломаные не подходят под её условия (т.е. никто ничего и не обещал; вот и получаете свои "парадоксы"). Замените ломаные гладкими кривыми ("волнами", типа синусов), подходящими под условия теоремы. (поверните на 45 градусов квадрат для простоты). И убедитесь что предел последовательности длин таких волн равен длине диагонали. Т.е. что всё сходится, честно, и никаких "парадоксов".

Вообще (ещё раз) - бесконечности и пределы - надо курить. Долго, годы. Матан, основа всего, да.

Задача для начала знакомства с матаном - неудачная. Она выглядит просто, но на самом деле - относительно сложная. Но если решите - пусть будет. Как пример-ориентир - пока будете долго курить...

[atlakatl]

crazy_taxi_driver в сообщении #1259873 писал(а):

Замените ломаные гладкими кривыми ("волнами", типа синусов), подходящими под условия теоремы. (поверните на 45 градусов квадрат для простоты). И убедитесь что предел последовательности длин таких волн равен длине диагонали.

Вы советуете "понять основы анализа" и заодно заменить диагональ синусами. Не подскажите, кстати, как это просто сделать?
Ну и "изучать" для местной публики более понятно, чем падонковское "курить".

[crazy_taxi_driver]

atlakatl Я отвечал Roger'у. Но напутал немного - подумал что Roger и есть ТС (irygaev). А ТС'у вроде как понятно стало. Так что зря писал.

[Roger]

mihaild в сообщении #1259824 писал(а):

"ломаной с бесконечномалыми изломами".

Это то, чем аппроксимируют кривые, например при интегрировании,считая площадь под кривой. Там допустимо считать кривую предельным случаем ломаной.
А в данном примере: $\sqrt{2}=2$ это недопустимо, в предельном случае ломаная останется ломаной и никогда не превратится в прямую и её длина никогда не поменяется в данном случае, сколь бы малыми ни стали ступени лестницы. Т.е. необходимо различать квадрат с диагональю - отрезком и квадрат, диагональные вершины которого соединены лестницей, сколь бы похожа эта лестница ни была на отрезок.

-- 28.10.2017, 17:13 --

Brukvalub в сообщении #1259864 писал(а):

У последовательностей нет членов "где-то там, на бесконечности", один член последовательности никак на существование у нее предела и на его величину не влияет, наличие в последовательности бесконечного числа двоек тоже не обеспечивает ее сходимости.

Так речь и не шла о сходимости. А члены где-то там на бесконечности есть, иначе последовательность не была бы бесконечной.

[mihaild]

Roger в сообщении #1259926 писал(а):

Это то, чем аппроксимируют кривые, например при интегрировании,считая площадь под кривой.

Неправда. При определении длины кривой ее "приближают" вполне обычными вписанными ломаными. У нас есть функция из множества вписанных ломаных в вещественные числа, и дальше смотрим на предел этой функции по базе "длина звена стремится к нулю". Никаких "бесконечно малых звеньев" нет.

[Roger]

mihaild
Так я и сказал:

Roger в сообщении #1259720 писал(а):

И тут на помощь приходят пределы, согласно которым так считать нельзя, но если очень надо, то можно.

Т.е. можно приближать сколь угодно близко, вплоть до совпадения.

А в случае данного примера так делать нельзя.

-- 28.10.2017, 17:26 --

atlakatl в сообщении #1259865 писал(а):

Вы фрик или тролль.

А почему не и?

atlakatl в сообщении #1259865 писал(а):

Вы фрик или тролль.

Нет, я философ.

[arseniiv]

Roger в сообщении #1259926 писал(а):

А члены где-то там на бесконечности есть, иначе последовательность не была бы бесконечной.

Псевдонаучненько. В математике вот [бесконечная] последовательность со значениями из множества $A$ — это отображение $\mathbb N$ в $A$. Натуральных чисел, которым бы соответствовали «члены где-то там на бесконечности», нет.

Roger в сообщении #1259932 писал(а):

А почему не и?

Да вот, видимо, действительно и.

-- Сб окт 28, 2017 19:29:03 --

Roger в сообщении #1259932 писал(а):

вплоть до совпадения

«Вплоть до совпадения» будет в том и только в том случае, когда исследуемая кривая сама есть ломаная. В остальных никакого совпадения не будет.

[Roger]

arseniiv в сообщении #1259934 писал(а):

Натуральных чисел, которым бы соответствовали «члены где-то там на бесконечности», нет.

Главное, что есть сами члены.

-- 28.10.2017, 17:33 --

arseniiv в сообщении #1259934 писал(а):

В остальных никакого совпадения не будет.

Ну, тогда и посчитанный интеграл никогда не будет давать точного значения, площади под кривой например.

[arseniiv]

Roger в сообщении #1259936 писал(а):

Главное, что есть сами члены.

Нету их. Член последовательности — это значение её на каком-то натуральном числе.

Roger в сообщении #1259936 писал(а):

Ну, тогда и посчитанный интеграл никогда не будет давать точного значения, площади под кривой например.

Короче, я нажал кнопочку-факториал, это уже скучно как-то.