помогите вычислить интеграл

[Someone]

id, Ваше выражение как-то странно заканчивается, возможно, Вы его не полностью скопировали. Мне Maple 9.5 выдал

-2*Si(105-3*1199^(1/2))*cos(105)*cos(1199^(1/2))^3+3/2*Si(105-3*1199^(1/2))*cos(105)*cos(1199^(1/2))-
-2*Si(105-3*1199^(1/2))*sin(105)*sin(1199^(1/2))*cos(1199^(1/2))^2+1/2*Si(105-3*1199^(1/2))*sin(105)*sin(1199^(1/2))+
+2*Ci(105-3*1199^(1/2))*sin(105)*cos(1199^(1/2))^3-3/2*Ci(105-3*1199^(1/2))*sin(105)*cos(1199^(1/2))-
-2*Ci(105-3*1199^(1/2))*cos(105)*sin(1199^(1/2))*cos(1199^(1/2))^2+1/2*Ci(105-3*1199^(1/2))*cos(105)*sin(1199^(1/2))-
-2*Si(105+3*1199^(1/2))*cos(105)*cos(1199^(1/2))^3+3/2*Si(105+3*1199^(1/2))*cos(105)*cos(1199^(1/2))+
+2*Si(105+3*1199^(1/2))*sin(105)*sin(1199^(1/2))*cos(1199^(1/2))^2-1/2*Si(105+3*1199^(1/2))*sin(105)*sin(1199^(1/2))+
+2*Ci(105+3*1199^(1/2))*sin(105)*cos(1199^(1/2))^3-3/2*Ci(105+3*1199^(1/2))*sin(105)*cos(1199^(1/2))+
+2*Ci(105+3*1199^(1/2))*cos(105)*sin(1199^(1/2))*cos(1199^(1/2))^2-1/2*Ci(105+3*1199^(1/2))*cos(105)*sin(1199^(1/2))+
+1/4*Pi*cos(105-3*1199^(1/2))+1/4*Pi*cos(105+3*1199^(1/2))

Mathematica 5.1 даёт результат

$$\frac 14e^{-3i\left(35+\sqrt{1199}\right)}\left(\left(1+e^{210i}\right)\left(1+e^{6i\sqrt{1199}}\right)\pi+i\left(e^{6i\sqrt{1199}}\mathop{\mathrm{Ei}}\left(-3i\left(-35+\sqrt{1199}\right)\right)-\right.\right.$$

$$\left.\left.-e^{210i}\mathop{\mathrm{Ei}}\left(3i\left(-35+\sqrt{1199}\right)\right)-e^{6i\left(35+\sqrt{1199}\right)}\mathop{\mathrm{Ei}}\left(-3i\left(35+\sqrt{1199}\right)\right)+\mathop{\mathrm{Ei}}\left(3i\left(35+\sqrt{1199}\right)\right)\right)\right)$$

Для действительных $z$ по определению

$$\mathop{\mathrm{Ei}}(z)=-\int_{-z}^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt$$

где при $z>0$ подразумевается главное значение в смысле Коши, а для комплексных $z$ эта функция продолжается на всю комплексную плоскость с разрезом по действительной оси от $-\infty$ до $0$.

Численное значение интеграла $\approx 0.293751$.

P.S. Trotil, Вы неопределённый интеграл вычисляли?

[id]

Someone
Быть может, численное значение Maple 8 выдал 0.293750901.

[Someone]

Maple 9.5 выдал мне $0.2937509009$ в качестве численного значения того длиннющего выражения, которое он же и сгенерировал при вычислении интеграла. А $0.293751+4.08701\times 10^{-15}i$ мне выдала Mathematica 5.1 как численное значение своего комплексного выражения. Если её специально не попросить, она выдаёт только 6 значащих цифр. Но можно получить столько, сколько захочешь:
$0.2937509017257720353792935996101198205302 + 0.\times 10^{-41}i$.
Maple 9.5 для такого количества цифр даёт
$0.2937509017257720353792935996101198205336$.
Последние две цифры неправильные, при вычислении с большей точностью Maple их исправляет.

Совпадение результатов означает, что, скорее всего, оба пакета данный интеграл вычисляют правильно, хотя и разными методами.

[Александр Т.]

Если посмотреть на формулу 5.2.12 Справочника по специальным функциям (под редакцией М.Абрамовица и И.Стиган), то довольно быстро можно сообразить как брать этот интеграл (еще формула 5.2.6 понадобиться и несложные алгебраические преобразования):
\begin{multline*} \int\limits_0^\infty \frac{(x+35)\sin(3x)}{x^2 + 70x + 26}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\mathop{\mathrm{Ci}}(105+3\sqrt{1199})\sin(105+3\sqrt{1199}) - \\ \hspace*{1.2in} - \dfrac{1}{2}\mathop{\mathrm{si}}(105+3\sqrt{1199})\cos(105+3\sqrt{1199}) + \\ \hspace*{1.6in} + \dfrac{1}{2}\mathop{\mathrm{Ci}}(105-3\sqrt{1199})\sin(105-3\sqrt{1199}) - \\ - \dfrac{1}{2}\mathop{\mathrm{si}}(105-3\sqrt{1199})\cos(105-3\sqrt{1199}) \end{multline*}
Вычислять это Maple'ом было лень, но, если я нигде не ошибся, то численный ответ должен (по идее) совпасть (с точностью до заданной при вычислениях погрешности) со значениями, представленными выше.

[antbez]

$sin 3x$- ограниченная функция. Тогда интеграл сравним с $\int _0^\infty \frac{dx}{x}$ а он расходится

[Brukvalub]

antbez писал(а):

$sin 3x$- ограниченная функция. Тогда интеграл сравним с $\int _0^\infty \frac{dx}{x}$ а он расходится

Незачот. Ступайте-ка пока домой и выучите
1. То, что признаки сравнения применимы только к финально знакопостоянным объектам.
2. То, что бывают признаки сходимости Абеля-Дирихле.
Выучите - придете сдавать еще раз

[Henrylee]

antbez писал(а):

$sin 3x$- ограниченная функция. Тогда интеграл сравним с $\int _0^\infty \frac{dx}{x}$ а он расходится

Да ну! Неужто и снизу положительным числм ограничена?

[antbez]

Цитата:

. То, что признаки сравнения применимы только к финально знакопостоянным объектам.

Добавлено спустя 5 минут 22 секунды:

Конечно- признак Дирихле- давно не решал ничего по этой теме...

[Echo-Off]

antbez писал(а):

$sin 3x$- ограниченная функция. Тогда интеграл сравним с $\int _0^\infty \frac{dx}{x}$ а он расходится

Значит, интеграл $$\int\limits_0^{+\infty} \frac {\sin x}x\,dx$ тоже расходится.

[ewert]

да ув. antbez вроде как давно уж всё понял