Биекция между полуокружностью и прямой

[granit201z]

Если взять полуокружность (с крайними точками), провести к ней касательную, параллельную прямой проведенной через ее (полуокружности) крайние точки и попытаться установить биекцию между точками этой полуокружности и касательной при помощи лучей исходящих из центра полуокружности, то для двух крайних точек полуокружности сделать это будет невозможно. С другой стороны - и эта полуокружность, и эта касательная содержат "континуальные" множества точек каждая, а следовательно не могут быть "не биективными". Помогите разобраться, пожалуйста.

[iifat]

Дык — равномощность отнюдь не означает, что любые рассуждения приведут непременно к биекции.

[gris]

Невозможна непрерывная биекция. А обычную устроить проще простого.

[granit201z]

gris в сообщении #1259310 писал(а):

Невозможна непрерывная биекция. А обычную устроить проще простого.

А как?
С первых же страниц учебника по топологии говорится, что полуокружность (без концевых точек) гомеоморфна такой касательной. При этом гомеоморфность определяется как 1) взаимно-однозначное; 2)взаимно-непрерывное отображение. Т.е. биекция уже установлена из п.1 (но без 2-х крайних точек). С чем тогда им (крайним точкам) биектировать?

[gris]

Эти две точки превращают полуокружность в замкнутое множество. Они лишние. Их надо засунуть в какое-то счётное множество. Посмотрите, что будет с этим множеством (без этих двух точек) при Вашем способе биектирования.

[granit201z]

gris в сообщении #1259318 писал(а):

Эти две точки превращают полуокружность в замкнутое множество. Они лишние. Их надо засунуть в какое-то счётное множество. Посмотрите, что будет с этим множеством (без этих двух точек) при Вашем способе биектирования.

Простите, а Вы не могли бы подробнее расписать свою мысль? То что эти две точки лишние - я понял. - биекция установлена, и установлена без их участия, а они остались "непробиектированы", хотя я почему-то полагал, что при равномощности двух множеств такое невозможно. А вот что значит засунуть их в какое-то счетное множество - непонятно. Ну и соответственно, следующее предложение тоже непонятно.

[Dan B-Yallay]

granit201z в сообщении #1259349 писал(а):

хотя я почему-то полагал, что при равномощности двух множеств такое невозможно.

Как Вы думаете, множества чётных и нечётных целых чисел -- равномощны?

[granit201z]

Dan B-Yallay в сообщении #1259351 писал(а):

Как Вы думаете, множества чётных и нечётных целых чисел -- равномощны?

Думаю, да. Равномощны

[gris]

Представьте два открытых интервала одинаковой длины. Расположим их один над другим. Биекция очевидна, правда? Графически или формулой. Вот теперь отметим на одном из интервалов счётное множество. При прежней биекции оно перейдёт в точно такое же счётное множество на другом интервале. А теперь разделим биекцию на две биекции. По одной биектируется отмеченное счётное множество, а по другое его дополнение. То есть система открытых интервалов. Всё в порядке.
А теперь к нижнему интервалу добавим концы. Они повиснут. Но можно присоединить их к отмеченному множеству. Опять биектируем отдельно дополнение прежним способом, а вот счётные множества по новому. Умеете?
Ну от интервалов легко перейти к прямой и полуокружности. Принцип тот же.

[Someone]

granit201z в сообщении #1259349 писал(а):

а они остались "непробиектированы", хотя я почему-то полагал, что при равномощности двух множеств такое невозможно

Вы хотите сказать, что любое отображение одного множества на другое, равномощное первому, является биекцией? Это совершенно не так. Обычно биекцию нужно специально строить.

granit201z в сообщении #1259349 писал(а):

А вот что значит засунуть их в какое-то счетное множество - непонятно.

Ну вот, например, натуральный ряд $\mathbb N=\{1,2,3,4,\ldots\}$ — счётное множество. Добавим к нему ещё два элемента $\{-1,0\}$ и получим множество $M=\mathbb N\cup\{-1,0\}$. Как бы Вы доказали, что $M$ и $\mathbb N$ равномощны?

[Dan B-Yallay]

granit201z в сообщении #1259353 писал(а):

Думаю, да. Равномощны

Правильно, вот явная биекция:

$$\begin{align} & 1\ 3\ 5\ 7\ \ 9\ 11\ 13 ... \\ & 2\ 4\ 6\ 8\ 10\ 12 \ 14 ... \end{align} $$

А теперь если сдвинуть и получить три "непробиектированных" элемента (можно сделать пять, семь или все сто -- как пожелаем) вот так:

$$\begin{align} 1\ 3\ 5\ &7\ 9\ 11\ 13\ 15\ 17\ 19... \\ & 2\ 4\ \ 6\ \ \ 8\ 10\ 12 \ 14 ... \end{align} $$

как думаете, они перестали быть равномощными?

Это Вам дополнительное рассуждение к вопросу от Someone

[granit201z]

Someone в сообщении #1259375 писал(а):

Как бы Вы доказали, что $M$ и $\mathbb N$ равномощны

К сожалению, как это доказать - пока что ума у меня не хватает, но примерно понять как такое возможно вроде бы хватает. То есть в соответствие $1$ из $\mathbb N$ ставим $-1$ из $M$, для $2$ ставим $0$, для $3$ ставим $1$, для $4$ ставим $2$ и т.д.

[arseniiv]

granit201z
Ну вот вы вроде задали отображение (хотя лучше формулой), а теперь проверьте, биективно оно или нет. Да — доказали. Нет — не доказали, всё просто.

gris
Возможно, надо было с формулами, вдруг непонятно будет.

Пусть у нас есть биекция $f\colon I\to J$ двух бесконечных множеств, причём есть счётное $I'\subset I$. Используя лемму 1 ниже, увидим, что $f|_{I'}$ и $f|_{I\setminus I'}$ — биекции. Пусть есть ещё не более чем счётное множество $K$, не пересекающееся с $I$. Найдём* биекцию $h\colon I'\cup K\to I'$. Вспомним, что композиция биекций — биекция. Теперь обращаемся к лемме 2 и видим, что $(f|_{I'}\circ h)\cup f|_{I\setminus I'}$ — биекция из $I\cup K$ в $J$.

Лемма 1*. Если $g\colon A\to B$ биективна (или даже инъективна) и $A'\subset A$, то $g|_{A'}\colon A'\to g(A')$ такая, что $(g|_{A'})(x) = g(x)$, есть биекция.
Лемма 2*. Если $g\colon A\to B$ и $g'\colon A'\to B'$ — биекции и $A\cap A' = B\cap B = \varnothing$, то $(g\cup g')\colon A\cup A'\to B\cup B'$, определённая как

$$(g\cup g')(x) = \begin{cases} g(x), & x\in A, \\ g'(x), & x\in A', \end{cases}$$

тоже биекция.

* Упражнение.

[granit201z]

arseniiv
Простите, а что обозначает $f|_{I'}$ это выражение, а именно вертикальная черта. Остальные знаки вроде понятны, а этот незнакомый мне.
Спасибо всем за ответы - буду сидеть осмыслять теперь.

[arseniiv]

А я ниже определил, в лемме 1 (да, это не совсем хорошо педагогически, но тут кусок текста маленький, можно легко пробежаться глазами туда-сюда). Называется это ограничением функции $f$ на множество $I'$.