неустойчивое равновесие

[pogulyat_vyshel]

Рассмотрим динамическую систему $\dot x=v(x)$, где $v$ -- гладкое векторное поле в окрестности нуля пространства $\mathbb{R}^m,\quad v(0)=0,\quad \mathrm{div}\,v=0$.
Известно, что существует решение $x(t),\quad x(0)\ne 0$ такое, что $x(t)\to 0$ при $t\to\infty$.
Задача: доказать, что нулевое равновесие неустойчиво по Ляпунову.
По-видимому, наблюдение принадлежит В. Козлову.

[scwec]

Напомнило тему topic57009.html.
Что касается заданного вопроса, то если предположить, что точка равновесия устойчива, то в силу $\operatorname{div}{v}=0$, она двусторонне устойчива, и это вступает в противоречие с выходящей из неё траекторией поля $-v(x)$.
P.S. Думаю, это наблюдение делают для себя многие, кто занимается или занимался устойчивостью.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1258826 писал(а):

точка равновесия устойчива, то в силу $\operatorname{div}{v}=0$, она двусторонне устойчива,

а ссылочкой снабдите?

[scwec]

Положение здесь такое. После просмотра моих старых записей, ссылок на печатные издания не найдено,
но есть слабо различимые следы доказательства для бездивергентных полей утверждения:
из устойчивости -> двусторонняя устойчивость изолированного положения равновесия.
Другим путём исходную задачу решить можно, видимо, доказав неустойчивость решения $x(t)$, используя сохранения объема.
Отсюда будет следовать неустойчивость точки равновесия.

[pogulyat_vyshel]

Спасибо, про положение здесь я в курсе более-менее. Вот думал только, что вы удивите какой-нибудь ссылкой на стандартную классику. А так ну что одно утверждение заменили другим фольклерным утверждением, которое тоже надо доказывать. Короче говоря, задача остается

[sup]

scwec в сообщении #1259215 писал(а):

Другим путём исходную задачу решить можно, видимо, доказав неустойчивость решения $x(t)$, используя сохранения объема.

Мне кажется, что достаточно просто сохранения объема. Неустойчивость не обязательно доказывать.
Обозначим $x(0) = x_0 \neq 0$.
От противного. Пусть нулевая точка устойчива. Положим $\varepsilon = |x_0| / 4$.
Тогда найдется $\delta > 0$ такое, что если $|y_0| < \delta$, то решение системы $y(t)$ таково, что $|y(t)| < \varepsilon$.
Пусть $T > 0$ таково, что $|x(T)| < \delta$. Рассмотрим отображение $G: y_0 \to y(T)$. Из соображений непрерывности следует, что для достаточно малого $r < \varepsilon$, образ шара $B_r(x_0)$ под действием $G$ будет лежать внутри шара $B_{\delta}(0)$. Заметим, что для любого $k > 0$ имеем

$$G^kB_r(x_0) \subset B_{\varepsilon}(0).$$

А значит

$$B_r(x_0) \cap G^kB_r(x_0) = \varnothing,$$

$$G^kB_r(x_0) \cap G^lB_r(x_0) = \varnothing, \quad k \neq l.$$

Все эти множества имеют одинаковую ненулевую меру и содержатся в шаре $B_{\varepsilon}(0)$. Противоречие.

[pogulyat_vyshel]

да, это хорошо

[sup]

К слову сказать, и двусторонняя устойчивость доказывается по той же схеме. Нам нужно какое-нибудь решение, которое переводит точку с фиксированным расстоянием от нуля в сколь угодно малую окрестность нуля. Выбор такого решения может зависеть от той самой окрестности, но для дальнейших рассуждений это не важно. Если нулевое решение неустойчиво при обратном направлении времени, то такое решение всегда существует.