Экстратреугольные числа 1 и 45, единственны ли они?

[Ktina]

Назовём натуральное число экстратреугольным, если оно само является треугольным, а также количество и сумма его делителей являются треугольными числами.
Первые два таких числа - 1 и 45.
Неужели других нет?

[lel0lel]

До числа $1/2\,\, 10^7(10^7+1)$ других нет.

Do[number = 1/2 n (n + 1); 
k = Divisors[number]; q = Length[k];  S = Total[k]; 
 If[IntegerQ[Sqrt[1 + 8 q]] && IntegerQ[Sqrt[1 + 8 S]], 
  Print[number]], {n, 1, 10^7}]

[Ktina]

lel0lel в сообщении #1258841 писал(а):

...

Do[number = 1/2 n (n + 1); 
k = Divisors[number]; q = Length[k];  S = Total[k]; 
 If[IntegerQ[Sqrt[1 + 8 q]] && IntegerQ[Sqrt[1 + 8 S]], 
  Print[number]], {n, 1, 10^7}]

Большое спасибо!

[maxal]

Ktina в сообщении #1258765 писал(а):

Назовём натуральное число экстратреугольным, если оно само является треугольным, а также количество и сумма его делителей являются треугольными числами.

Нетрудно видеть, что экстратреугольных чисел с тремя делителями не существует. Далее, можно показать, что 45 - это единственное экстратреугольное число с шестью делителями.
Таким образом, если другие экстратреугольные числа существуют, то они имеют не менее 10 делителей.