Подсказка Ферма и ВТФ для соседних кубов (продолжение).

[PhisicBGA]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!Эта тема ещё не закончена и,судя по просмотрам,по прежнему волнует читателей.Спасибо всем,кто принимал в ней участие.
Формулировка Великой теоремы самим Ферма даёт основание полагать,что все целые степени натуральных чисел -это не обычные числа с их традиционным набором свойств:чётное-нечётное,простое-сложное. Все они имеют внутреннюю структуру и потому обладают дополнительными свойствами определяемыми этой внутренней структурой.В самом начале темы решение задачи о разности соседних кубов приводит нас в другую область математики-математику арифметических прогрессий или треугольных чисел.Что бы было понятно дальнейшее я приведу начало этого доказательства.

Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 .(1)$$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.
Для записи $ x^3 $ воспользуемся формулой:
$x^3= (x-1)x(x+1)+x$. Тогда равенство $(1)$ примет следующий вид:

$$ 3y(y+1) + 1 = (x-1)x(x+1)+x.(2) $$

.
Без ограничения общности положим $ y = 2c $, где $c $-любое целое число,
$ x = 2a +1 $, где $ a = 3n $, где $ n $-любое целое число.
Тогда наше равенство примет следующий вид

$$ 6c(2c+1)+1 = 6n(6n +1)(6n+2)+ 6n+1 $$

или

$$ (2c+1)^3-(2c)^3=6<2c>+1=(6n+1)^3. (3) $$

,где$<2c>=2c(2c+1)/2=1+2+3+....+ 2c $-арифметическая прогрессия или треугольное число.Такой вид должен иметь куб ,которому была бы равна разность соседних кубов.
Сократив подобные члены и разделив обе части на 6, получим

$$ <2c> = 2n <6n+1> + n .(4)$$

Таким образом , задача о соседних кубах сводится к выявлению справедливости равенства между треугольными числами и,очевидно,чтобы двигаться дальше , необходимо использовать математику числовых прогрессий или треугольных чисел.А она отличается от математики обычных чисел.Известно,что закон сложения треугольных чисел отличается от
закона сложения обычных чисел:$ <x> + <y>=<x+y>-xy $
В прошлый раз нам не удалось доказать,что равенство (4) является несправедливым.Потребовалось проанализировать этот случай разложения кубов с помощью их внутренней структуры.Оказалось,что мы пытались доказать следствие,а не причину.Поясню.Если справедливо равенство (3),то следовательно должно быть справедливо равенство (4).А когда,при каких условиях будет справедливо равенство (3)? Анализ разложения кубов показал,что это разложение возможно лишь в следующем случае:

$$6<2c>+1=(6n+1)^3=(6n)^3+6<6n>+1 $$

.

$$ 6(<2c>-<6n>=(6n)^3 =6n(6n)^2 $$

.

$$ <2c>-<6n>= n(6n)^2. (5) $$

.
т.е. в случае выполнения равенства (5) для разности двух треугольных чисел.Таким образом,эти не хитрые математические выкладки показывают ,что выполнение равенства (5)является основным условием равенства кубу разности кубов соседних целых чисел т.е. выполнения равенства (3)
Из равенства (5) следует:

$$ <2c>=<6n>+ n(6n)^2. (6) $$

Это значит,что для выполнения равенства (5)необходимо что бы выражение $ <6n>+n(6n)^2 $было треугольным числом.Покажем,что это выражение не является треугольным числом ни при каких целых $ n $.
Для этого докажем несколько лемм.

Лемма 1:"Любая арифметическая прогрессия сложного натурального числа $<x>=<a*b*c*...d> $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, раскладывается по любому из своих множителей,как простому,так и сложному,по следующей формуле:

$$<x>=<a*b*c*...d>=n<m>+<n-1>m^2 .(7) $$

,где
$n $-любой,как простой,так и сложный множитель числа$x $ (назовём его-множитель разложения),а $m $-все оставшиеся его множители(назовём его - остатком разложения)"
Доказательство.
Согласно закону сложения арифметических прогрессий $<x>+<y>=<x+y>-x*y $.Отсюда $<x+y>=<x>+<y>+x*y $.
Положим в этом равенстве:
1.$ x=y$. Получим $<2y>=2<y>+y^2 $ ;
2.$ x=2y$. Получим $<3y>=<2y>+<y>+2y^2 = 3<y>+3y^2=3<y>+<3-1>y^2$ ;
3.$ x=3y$. Получим $<4y>=<3y>+<y>+3y^2 =4<y>+6y^2 =4<y>+<4-1>y^2 $ ;
_______________ / ___________________ / __________________________ / _____________________

n-1.`$ x=(n-1)y$. Получим

$$<n*y>=n<y>+<n-1>y^2 $$

Приняв за $ n $ любой из целых множителей сложного натурального числа $ x= a*b*c*...d $,а за $ y $ -все оставшиеся его множители $ m $
мы можем разложить арифметическую прогрессию этого числа по этому множителю согласно формуле (7).
Таким образом, лемма 1 доказана.

Лемма 2:" Разложение арифметической прогрессии сложного натурального числа$<x>=<a*b*c*...d> $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, по любому из его множителей $ n $ с остатком разложения $ m $ по формуле $<n*m>=n<m>+<n-1>m^2 $ может быть приведено к следующему виду

$$<n*m>=n<m>+<n-1>m^2 =n^2<m>-<n-1>m .(8) $$

"

Доказательство.
Разложим арифметическую прогрессию сложного натурального числа$<x>=<a*b*c*...d> $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, по любому из его множителей $ n $ с остатком разложения $ m $ по формуле $<n*m>=n<m>+<n-1>m^2 $.Как известно $m^2 = <m-1>+<m>= 2<m>- m $.Подставим в наше разложение и получим:

$$<n*m>=n<m>+<n-1>(2<m>-m)=n<m>+2<n-1><m>-<n-1>m $$

или

$$<n*m>= <m>(n+2<n-1>)-<n-1>m=n^2<m>-<n-1>m $$

Что и требовалось доказать.

С помощью этих лемм мы сформулировали закон разложения сложного треугольного числа по любому из его множителей.Кстати,это ещё одно отличие математики треугольных чисел от математики обычных чисел.Теперь рассмотрим выражение $ <6n>+n(6n)^2 $ с точки зрения этого закона.Оно будет равняться треугольному числу, если будет его разложением т.е. его можно будет привести к тому виду ,что указан в этих леммах.
Как видно из леммы 1,оно похоже на разложение треугольного числа с остатком разложения $ 6n $,но множитель разложения,даже когда $ n $ будет треугольным числом $ n=<k-1> $ как требует того лемма 1, не удастся сделать равным $ k $. Например,пусть $ n=<6-1>=15 $.Тогда

$$ <6n>+n(6n)^2=<6*15>+<6-1>(6*15)^2=6<15>+<6-1>(15)^2+<6-1>(6*15)^2 $$

или

$$ <6n>+n(6n)^2=6<15>+<6-1>(1+6^2)(15)^2 $$

Теперь посмотрим на это выражение сточки зрения леммы 2.Для этого преобразуем его:

$$ <6n>+n(6n)^2=<6n>+n(2<6n>-6n)=(2n+1)<6n>-n(6n). (9) $$

Согласно лемме 2 выражение (9)будет разложением треугольного числа, если верна следующая система

$$ 2n+1=m^2 $$

$$ n=<m-1> $$

где $ m $-целое число
Решая эту систему относительно $m $ получим,что она будет верная при $m=1 $ т.е.
при $n=0 $
Таким образом,рассматриваемое выражение не является разложением треугольного числа с остатком $6n $
ни при каких целых $n $ отличных от 0.
Посмотрим теперь будет ли оно разложением треугольного числа с остатком $n $.

$$ (2n+1)<6n>-n(6n)=(2n+1)[6<n>+<6-1>n^2]-n(6n)=6(2b+1)<n>+[15(2n+1)-6]n^2 $$

Согласно лемме 1,это будет разложением треугольного числа если

$$15(2n+1)-6 = <6(2n+1)-1> $$

Отсюда

$$15(2n+1)-6 = 3(2n+1)[6(2n+1)-1] $$

$$5(2n+1)-2 = (2n+1)[6(2n+1)-1] $$

$$12n(2n+1) = -2 $$

$$6n(2n+1) +1=0 $$

Чего быть не может при любых целых $n $
Мы опять получаем отрицательный результат.
И последнее.Закон разложения сложных треугольных чисел,с которым вступает в противоречие равенство (6), является производным от основного закона математики треугольных чисел-закона их сложения.Посмотрим теперь будет ли это равенство справедливо сточки зрения этого основного закона.
Равенство (6) можно представить в следующем виде:

$$ <2c>=<6n>+ n(6n)^2 =<6n>+(6n)(6n^2) $$

или

$$ <2c>=<6n>+(6n)(6n^2-2x)+2x(6n) $$

Если

$$ 2x(6n) =<6n^2-2x>.(10) $$

,то согласно закону сложения треугольных чисел в правой части равенства будет треугольное число

$$ <6n^2+6n-2x> $$

и равенство будет справедливо.
Рассмотрим при каких $x$ равенство(10) будет справедливым:

$$ 2x(6n) =(3n^2-x)(6n^2-2x+1)=18n^4-6n^2x-6n^2x+2x^2+3n^2-x $$

$$ 2x^2 -(12n^2+12n+1)x+18n^4+3n^2=0 $$

Дискриминант этого квадратного уравнения будет:

$$ D= (12n^2+12n+1)^2+8(18n^4+3n^2)=2n(12n^2)+(12n+1)^2$$

или

$$ D= 2n(12n^2)+(12n+1)^2=288n^3+(12n+1)^2$$

или

$$ D= 288n^3+(12n+1)^2=(6n)^3+(4n)^3+(2n)^3+(12n+1)^2$$

или

$$ D= 288n^3+(12n+1)^2=288n^3+144n^2+24n+1$$

или

$$ D= (2n+1)(12n)^2+2*12n+1$$

Я намеренно привёл различные выражения для дискриминанта,что бы показать,как трудно сделать однозначный вывод о его равенстве или не равенстве квадрату целого числа.Одно можно сказать точно:из последнего выражения следует,что дискриминант точно не будет квадратом целого числа,если

$$ 2n+1=m^2$$

,где $m$ - целое число.Но как раз этого требует лемма 2 для справедливости равенства(6).Основной закон вступает в противоречие с производным от него законом и только признание того,что равенство (6) несправедливо, вносит мир и покой в их отношения.Похоже,что это противоречие ставит точку в сомнениях относительно того,может ли быть кубом разность кубов соседних целых чисел .Для нормального функционирования законов математики треугольных чисел,
по которым живут кубы всех натуральных чисел, такого быть не может.

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

Без ограничения общности положим $ y = 2c $, где $c $-любое целое число,

Собственно говоря, почему чётным является именно $y$? Вдруг чётно как раз $y+1$ или $x$?

Кроме того, легко доказывается (присоединённый файл), что одно из трёх чисел $y$, $y+1$ или $x$ должно делиться на $9$. В итоге получаем $3\times 3=9$ вариантов того, какое из чисел делится на $2$, и какое — на $9$.

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

Собственно говоря, почему чётным является именно $y$? Вдруг чётно как раз $y+1$ или $x$?

Чётно $ x $ ? Да бог с Вами!Разность кубов соседних целых чисел или единичное приращение куба целого числа всегда нечётное число: $3x(x+1)+1 $

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1257360 писал(а):

Чётно $ x $ ? Да бог с Вами!Разность кубов соседних целых чисел или единичное приращение куба целого числа всегда нечётное число

Замечательно. Нечётность $x$ Вы обосновали. Дальше?

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

Дальше?

Дальше хотелось бы услышать от Вас что нибудь по существу доказательства.

[Someone]

По существу я уже сказал, ответа не вижу: почему чётным является именно $y$? Вы же написали, что

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

Без ограничения общности положим $ y = 2c $

поэтому должны объяснить, почему другие случаи рассматривать не надо. Объяснение насчёт $x$ принято.

И давайте уберём эти обозначения треугольных чисел с уголковыми скобками (кстати, лучше писать не "$<\ldots>$", а "$\langle\ldots\rangle$"). Пишите просто выражение этого числа через его параметр. Никто не будет это делать за Вас. В конце концов, $<2c>$ — это просто $c(2c+1)$, и тому подобное. Ваши обозначения только затемняют суть дела.

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

простое-сложное

"Сложные" числа называются составными.

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

Эта тема ещё не закончена и,судя по просмотрам,по прежнему волнует читателей.

Эти "просмотры" делают "боты" поисковых систем. Сама тема никого не волнует. Справитесь Вы с доказательством или не справитесь — Ваша проблема.

P.S. Номер к выносной формуле делается командой \eqno. Например:

$$(y+1)^3-y^3=x^3.\eqno(1)$$

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

почему чётным является именно $y$?

Оборот"без ограничения общности"значит,что это всё равно будет ли $ y = 2c $ или $ (y+1)= 2c $.В обоих случаях мы получим один результат:разность кубов соседних целых чисел будет $6<2c>+1 $
Теперь по поводу обозначения треугольных чисел уголковыми скобками.Я их выбрал из ассоциативных соображений:треугольное число-треугольник-угол-угловая скобка и, честно говоря,мне работать с ними очень удобно. Я бы с удовольствием перешёл на предложенные Вами более пологие угловые скобки,но на моей клавиатуре таких скобок нет.
Спасибо Вам за подсказку с нумерацией.

-- 21.10.2017, 21:33 --

(Оффтоп)

Существует такое мнение,что ВТФ as is so-so т.е. не особо-то интересная, так что вряд ли серьезные математики на такую тему заморачивались. По моему это не так. ВТФ-очень интересное и важное явление в математики,затрагивающее глубинные основы самого числа.Образно говоря,ВТФ-это не короткий рассказ с хитроумно построенным сюжетом, а увлекательный роман,и главный герой этого романа -не уравнение Ферма,а само число.

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1257728 писал(а):

на моей клавиатуре таких скобок нет

На моей тоже нет.

PhisicBGA в сообщении #1257728 писал(а):

Оборот"без ограничения общности"значит,что это всё равно будет ли $ y = 2c $ или $ (y+1)= 2c $.В обоих случаях мы получим один результат:разность кубов соседних целых чисел будет $6<2c>+1 $

Вы же это не доказали.

PhisicBGA в сообщении #1257728 писал(а):

Я бы с удовольствием перешёл на предложенные Вами более пологие угловые скобки

Вообще-то, я не это предлагал. Мне, честно говоря, дико смотреть на выражения с этими скобками. Я не понимаю, почему нельзя написать $c(2c+1)$ и нужно обязательно писать $\langle 2c\rangle$. Вы специально запутываете обозначения, чтобы никто не разобрался? Всё равно вашим читателям придётся переписывать ваши "уголковые" обозначения в нормальном алгебраическом виде. Я этим заниматься не хочу, у меня и другие дела есть.

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

Вы специально запутываете обозначения, чтобы никто не разобрался?

Вы затронули очень важную тему,сами того не подозревая.Думаю,что в большей степени именно благодаря этим обозначениям появились и это доказательство и другие интересные вещи.Одно дело, когда треугольные числа для тебя это просто небольшой раздел из школьного учебника математики,и совсем другое,когда начинаешь с ними в плотную работать,осознав,что они составляют основу внутренней структуры кубов натуральных чисел.И здесь необходимо,что бы они были легки в написании и быстро идентифицировались.Запишем,например,формулу разложения сложного треугольного числа в обычных обозначениях:

$$ 1/2[x*y(x*y+1)]=x*1/2[y(y+1)]+1/2[(x-1)(x-2)]*y^2 $$

А теперь - в новых обозначениях:

$$ <x*y>=x<y>+<x-1>y^2 $$

Надеюсь,Вы почувствовали разницу. Разве не так создавалась алгебра:переобозначить числа буквами,что бы уйти от рутины и сосредоточится на поиске общих закономерностей?Эти обозначения оказались удобны и эффективны в работе и ,уверен,они просто необходимы при изложении.К ним нужно просто привыкнуть,как мы привыкли к буквенным обозначениям натуральных чисел.

Someone писал(а):

Вы же это не доказали

Да тут и доказывать то особо нечего.Пусть $ (y+1)=2c$,тогда $y=2c-1$Получим
равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = 3y(y+1)+1=3(2c-1)(2c)+!=6<2c-1>+1=x^3$$

При $ x = 2a +1 $, где $ a = 3n $, где $ n $-любое целое число, получим

$$ (2c)^3-(2c-1)^3=6<2c-1>+1=(6n+1)^3 $$

или

$$ <2c-1> = 2n <6n+1> + n $$

или

$$<2c-1>=2n<6n+1>+n=2n<6n>+12n^2+2n+n=$$

$$=n[2<6n>-6n+3(6n)]+3n=n(6n)^2+3n(6n+1)$$

или

$$ <2c-1> =n(6n)^2+<6n> $$

Опять получается,что выражение

$$ n(6n)^2+<6n> $$

должно быть треугольным числом,а этого не может быть,как мы уже доказали.

[grizzly]

PhisicBGA в сообщении #1258427 писал(а):

$$ 1/2[x*y(x*y+1)]=x*1/2[y(y+1)]+1/2[(x-1)(x-2)]*y^2 $$

Вот так примерно это должно быть оформлено по правилам форума (эти правила не просто так придуманы -- они сделаны для максимального удобства пользователей):

$$ \frac12 xy(xy+1)=\frac12 xy(y+1)+\frac12 y^2(x-1)(x-2) $$

И, кстати, сразу видно, что выражение слева совсем даже не равно выражению справа (подставьте, например, $y=1, x=0$ в обе части).

PhisicBGA в сообщении #1258427 писал(а):

А теперь - в новых обозначениях:

$$ <x*y>=x<y>+<x-1>y^2 $$

Согласен, в новых обозначениях ошибку заметить не так просто.

Впрочем, Вы в своём праве. Как только Ваши обозначения станут общепринятыми -- кто-то на форуме непременно уделит время и силы разобрать Ваше доказательство. А пока давайте подождём.

[PhisicBGA]

grizzly писал(а):

$$ \frac12 xy(xy+1)=\frac12 xy(y+1)+\frac12 y^2(x-1)(x-2) $$

И, кстати, сразу видно, что выражение слева совсем даже не равно выражению справа (подставьте, например, $y=1, x=0$ в обе части).

Ну,это несоответствие очень легко устранить:

Лемма 1:"Любая арифметическая прогрессия составного натурального числа не равного 0 $<x>=<a*b*c*...d> $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, раскладывается по любому из своих множителей,как простому,так и сложному,по следующей формуле:

$$<x>=<a*b*c*...d>=n<m>+<n-1>m^2 .(7) $$

,где
$n $-любой,как простой,так и сложный множитель числа$x $ (назовём его-множитель разложения),а $m $-все оставшиеся его множители(назовём его - остатком разложения)"


Лемма 2:" Разложение арифметической прогрессии составного натурального числа не равного 0$<x>=<a*b*c*...d> $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, по любому из его множителей $ n $ с остатком разложения $ m $ по формуле $<n*m>=n<m>+<n-1>m^2 $ может быть приведено к следующему виду

$$<n*m>=n<m>+<n-1>m^2 =n^2<m>-<n-1>m .(8) $$

Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 .(1)$$

не может быть справедливым для любых не тривиальныхт.е. не равных 0 одного из них целых чисел $x,y $.

Таким образом,представленное доказательство-это доказательство для любых не тривиальныхт.е. не равных 0 одного из них целых чисел у всех кубов соседних целых чисел и арифметических прогрессий или треугольных не тривиальных чисел.

[grizzly]

PhisicBGA в сообщении #1258685 писал(а):

Ну,это несоответствие очень легко устранить:
...

Вам нужно отвлечься немного от этой темы и отдохнуть. Я не верю, что Вы не понимаете, что означает равенство двух выражений. Причём здесь равно или не равно нулю?! Слева и справа стоят разные выражения -- они не равны практически ни при каких значениях переменных (кроме некоторых точек пересечения).

[PhisicBGA]

grizzly писал(а):

Слева и справа стоят разные выражения -- они не равны практически ни при каких значениях переменных (кроме некоторых точек пересечения

Мне даже стало интересно:неужели закон разложения треугольных чисел,который я самостоятельно вывел (не знаю:известен ли он в математической литературе) и который верой и правдой служил мне долгое время, оказался не верным?Я по внимательнее присмотрелся к его написанию в обычных обозначениях:

$$1/2[x*y(x*y+1)]=x*1/2[y(y+1)]+1/2[(x-1)(x-2)]*y^2 $$

и понял,что наделал кучу ошибок,пока пыхтел над таким написанием.Попробую их исправить:

$$ [1/2(x*y)(x*y+1)]=x*[1/2(y)(y+1)]+[1/2(x-1)(x)]*y^2 $$

Вот теперь вроде правильно.Можно смело подставлять любые значения переменных.Ну что ж,это лишний раз подтверждает
необходимость новых обозначений при изложении.

Цитата:

Согласен, в новых обозначениях ошибку заметить не так просто.

Тем более ,что её там нет.

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1258427 писал(а):

Запишем,например,формулу разложения сложного треугольного числа в обычных обозначениях:

$$ 1/2[x*y(x*y+1)]=x*1/2[y(y+1)]+1/2[(x-1)(x-2)]*y^2 $$

А теперь - в новых обозначениях:

$$ <x*y>=x<y>+<x-1>y^2 $$

Надеюсь,Вы почувствовали разницу.

Почувствовал. Второе выглядит дико и непонятно. Первое, честно говоря, тоже диковато, поскольку математики не используют "звёздочку" для обозначения умножения чисел, и лишних скобок Вы туда напихали. В нормальном написании и с исправленной опечаткой это выглядело бы так (если уж Вам хочется выделить треугольные числа):

$$\frac 12xy(xy+1)=x\cdot\frac 12y(y+1)+\frac 12(x-1)x\cdot y^2.$$

Что касается второго, то, помимо непонятности, крайне неприятно использование знаков неравенства в качестве угловых скобок, в то время как существуют специальные угловые скобки \langle и \rangle, которые Вы могли бы найти в теме "Краткий FAQ по тегу [mаth]". С ними вторая формула выглядит так:

$$\langle xy\rangle=x\langle y\rangle+\langle x-1\rangle y^2.$$

PhisicBGA в сообщении #1258749 писал(а):

закон разложения треугольных чисел,который я самостоятельно вывел (не знаю:известен ли он в математической литературе)

Я тоже не знаю, встречался ли он в математической литературе, но, на мой взгляд, он тривиален: если сократить первое равенство на $\frac 12xy$, то останется совершенно очевидное равенство $xy+1=y+1+xy-y$.

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

Как видно из леммы 1,оно похоже на разложение треугольного числа с остатком разложения $ 6n $,но множитель разложения,даже когда $ n $ будет треугольным числом $ n=<k-1> $ как требует того лемма 1, не удастся сделать равным $ k $. Например,пусть

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

Теперь посмотрим на это выражение сточки зрения леммы 2.Для этого преобразуем его:

Это не доказательства. Вдруг обсуждаемое выражение является треугольным числом, но с параметром, не имеющим регулярного выражения через $n$?

Ещё раз повторю: ваши обозначения для треугольных чисел затрудняют восприятие и неудобны.

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

Вдруг обсуждаемое выражение является треугольным числом, но с параметром, не имеющим регулярного выражения через $n$?

Что бы не было этих "вдруг"и гаданий на кофейной гуще, и пришлось прогнать обсуждаемое выражение через жёсткие сита двух представлений закона о разложении сложных треугольных чисел и закона о сложении треугольных чисел.Согласно последнему из названных законов,треугольное число,которое получается из обсуждаемого выражения,должно иметь следующий вид: $ <6n^2+6n-2x> $. Тут-всё,включая и Ваш "параметр, не имеющий регулярного выражения через $n$".Да вот незадача:если $x$ будет целым числом, то основной закон вступит в противоречие с производным от него законом. Какое ещё нужно доказательство? Или Вы не верите в справедливость закона о сложении треугольных чисел?

Someone писал(а):

помимо непонятности, крайне неприятно использование знаков неравенства в качестве угловых скобок, в то время как существуют специальные угловые скобки

Я уже объяснял,из каких соображений выбрал для обозначения треугольного числа угловые скобки.Я не знал,что существуют специальные угловые скобки. Спасибо Вам, что подсказали.Теперь обязательно перепишу своё сообщение в этих обозначениях.