Неравенство

[arqady]

Докажите, что для неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ выполняется следующее неравенство:

$(ab - c^2)(a + b - c)^3 + (ac - b^2)(a + c - b)^3 + (bc - a^2)(b + c - a)^3\geq0$

[maxal]

arqady писал(а):

Докажите, что для неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ выполняется следующее неравенство:

$(ab - c^2)(a + b - c)^3 + (ac - b^2)(a + c - b)^3 + (bc - a^2)(b + c - a)^3\geq0$

Это неравенство переписывается в виде:

$$\sum_{sym} a^5 - 2 \sum_{sym} a^4 b + 5 \sum_{sym} a^3 b^2 - \sum_{sym} a^3 b c - 6 \sum_{sym} a^2 b^2 c\geq 0$$

и распадается на пару неравенств Мюрхеда:

$$\sum_{sym} a^3 b^2 - \sum_{sym} a^3 b c \geq 0,$$

$$3\left(\sum_{sym} a^3 b^2 - 2 \sum_{sym} a^2 b^2 c\right)\geq 0,$$

и неравенство между средними арифметическим и геометрическим выражений $a^5$ и $a^3 b^2$, симметрически просуммированное:

$$\sum_{sym} a^5 - 2 \sum_{sym} a^4 b + \sum_{sym} a^3 b^2 \geq 0.$$

[arqady]

Всё правильно, maxal!
Моё доказательство:

$$\sum_{cyc}(ab-c^2)(a+b-c)^3=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\left((b-c)(a+c)(a+b-c)^3-(c-a)(b+c)(a+b-c)^3\right)=$$

$$=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\left((a-b)(b+c)(a+c-b)^3-(a-b)(a+c)(b+c-a)^3\right)=$$

$$=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a-b)^2\left(5c^3+3(a+b)c^2-(a-b)^2c+(a+b)(a-b)^2\right)\geq0,$$

что верно
поскольку уже

$$(a-b)^4-12(a+b)^2(a-b)^2\leq0$$

верно.

Скорее всего верно следующее неравенство:

$$(ab - c^2)(a + b - c)^k + (ac - b^2)(a + c - b)^k + (bc - a^2)(b + c - a)^k\geq0$$

для всех неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ и нечётных натуральных $k,$

но мне удалось это доказать только для

$$k=5.$$

Трудности только с большими числами. Чтобы это обойти, нужна другая идея ( индукция, имхо, не помогает ).

Вот если $a,$ $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, то довольно легко доказать, что

$$(ab - c^2)(a + b - c)^k + (ac - b^2)(a + c - b)^k + (bc - a^2)(b + c - a)^k\geq0$$

верно для всех действительных

$$k\geq1.$$

Интересно также, что последнее неравенство для длин сторон треугольника верно для

$$k=\frac{1}{3}$$

( здесь имеется симпатичное доказательство ) и уже неверно для

$$k=\frac{1}{4}.$$

Скорее всего оно верно для всех действительных

$$k\geq0.27,$$

но я не умею это доказывать.