Принцип разделяющего числа (аксиоматика действительных чисел

[bssgrad]

Добрый день! Хочу разобраться с принципом разделяющего числа, т.к. сейчас начал изучать матанализ и в определении предела затрагивается этот вопрос.
В учебнике говорится: "Пусть множество $A$ расположено слева от множества $B$. Тогда множество $A$ ограничено сверху (любой элемент множества $B$ является верхней границей для $A$), а, значит, по аксиоме непрерывности, для него имеется наименьшая верхняя граница - $c$. Это число $c$ обладает следующим свойством: если $a\in{A}$ и $b\in{B}$, то $a\leqslant{c}\leqslant{b}$. Значит, число $c$ лежит как бы между множествами $A$ и $B$, разделяет эти множества. Поэтому оно называется разделяющим числом" (Принцип разделяющего числа).
Здесь, насколько я понимаю, это число $c$ должно быть общим и для множества $A$, и для множества $B$.

Согласно определению верхней границы "Числовое множество $M$ называется ограниченным сверху, если существует такое число $p$, что для всех $x\in{M}$ справедливо неравенство $x\leqslant{p}$".

Далее следует критерий единственности разделяющего числа: "Если множество $A$ лежит слева от множества $B$, то для единственности разделяющего числа необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого заданного положительного числа $\varepsilon$ ("эпсилон") найдутся такие $a\in{A}$ и $b\in{B}$, что $(b-a)<\varepsilon$".

Теперь, если, исходя из "критерия единственности разделяющего числа", посмотреть определение сходящейся последовательности и ее предела, то там в качестве множеств $A$ и $A$ выступают соответственно множество, состоящее исключительно из числа, являющегося пределом, и множество чисел сходящейся последовательности:
"Последовательность ($x_n$) называется сходящейся к числу $a$, если выполняются следующие условия: для любого $\varepsilon>0$ можно указать такое натуральное число $n_0$, что из неравенства $n\geqslant{n_0}$ следует неравенство $|x_n-a|<\varepsilon$ (иными словами, член последовательности с этим номером и все следующие за ним удалены от $a$ на расстояние, меньшее чем $\varepsilon$). Число $a$ в таком случае называют пределом последовательности (x_n) и пишут $\lim\limits_{n}^{\infty}x_n=a$ или $x_n\to{a}$ при $n\to{\infty}$".
Т.е. для множества чисел сходящейся последовательности и ее предела выполняется "критерий единственности разделяющего числа".
Но тогда согласно "Принципу разделяющего числа" должно существовать разделяющее число $c$ такое, что $a\leqslant{c}\leqslant{b}$, т.е. лежит между множествами $A$ и $B$, разделяет эти множества.
Насколько я понимаю, это число $c$ должно быть общим и для множества $A$, и для множества $B$.
Но из определения сходящейся последовательности следует, что она только стремится к своему пределу - числу $a$, но никогда не достигает его, т.е. множество $A$ (предел) и множество членов последовательности не имеют общих точек (границы).
Вот в чем хотелось бы разобраться. Спасибо заранее за помощь.

[ex-math]

Возьмите интервалы $(0,1)$ и $(1,2)$. Какое число их разделяет? Принадлежит ли оно интервалам?

[bssgrad]

ex-math в сообщении #1258251 писал(а):

Возьмите интервалы $(0,1)$ и $(1,2)$. Какое число их разделяет? Принадлежит ли оно интервалам?

Число $1$ не принадлежит ни одному из интервалов. Если считать, что оно разделяет эти интервалы, то точно также оно разделяет и отрезки $[0,1]$ и $[1,2]$.
Тогда сходящаяся последовательность и ее предел - это случай, когда последовательность - это полуинтервал, а предел - отрезок, которые разделены числом, которое принадлежит отрезку, но не принадлежит полуинтервалу?
Т.е. $a\leqslant{c}\leqslant{b}$ в каких-то случаях может быть более-менее строгим в зависимости от того, с какими видами числовых промежутков мы имеем дело?

[ex-math]

Да. Ниоткуда не следует, что разделяющее число должно принадлежать хотя бы одному из множеств. Возможны все четыре варианта.

[bssgrad]

Огромное спасибо, что помогли разобраться.