Модель два хищника - две жертвы

[limarodessa]

Всем доброго времени суток.

Моя проблема: есть система из двух насекомых-хищников и двух насекомых-жертв (жертвы являются вредителями сельскохозяйственных растений в теплице). Математическая модель когда два хищника уничтожают двух жертв выглядит так:

Gabriela Kirlinger "Two predators feeding on two prey species: A result on permanence", Mathematical Biosciences, Vol. 96, P. 1-32 (1989)

Цитата:

It was assumed in [18] that each predator feeds on only one prey. In the following we consider a more general model of two prey and two predator species: each predator feeds on either prey. The dynamics are by the following equations:

$$\dot x_1 = x_1(r_1 - a_{11} x_1 - a_{12} x_2 - b_{11}y_1-b_{12}y_2)$$

$$\dot x_2 = x_2(r_2 - a_{21} x_1 - a_{22} x_2 - b_{21}y_1-b_{22}y_2)$$

$$\dot y_1 = y_1(-s_1 + d_{11}x_1 +d_{12}x_2)$$

$$\dot y_2 = y_2(-s_1 + d_{21}x_1 +d_{22}x_2)$$

with all coefficients elements of $\mathbb R_+$

Two predators competing for two prey species: An analysis of MacArthur's model





Мой вопрос: как подойти к численному решению системы дифференциальных уравнений если я экспериментально могу посчитать в любой момент времени численность каждого хищника и каждой жертвы на фиксированной площади растений в теплицы ? Как посчитать коэффициенты в системе дифференциальных уравнений ? Я не математик и с такой задачей не сталкивался. Какие монографии и учебники почитать ?

Как я написал считать я могу только число насекомых в любой момент времени. Конечно можно поискать и другие параметры в справочниках, но экспериментально могу определять только число особей. В справочниках есть не вся информация для коэффициентов и не для всех насекомых, экспериментально, повторюсь, мне значительно доступнее считать количество. Но если мне здесь посоветуют как второй вариант считать и с другими коэффициентами тоже приму к сведению

[Евгений Машеров]

Если данные о количестве можно получать достаточно часто, то можно попытаться посчитать производные количеств хищников и жертв численно по некоторому множеству дней. Затем рассматривать величины $\dot{x_i}/x_i$ (и для y соответственно), как зависимые переменные в регрессионной модели, оцененные коэффициенты которой и дадут искомые параметры модели (предпосылки регрессионной модели выполняются весьма приблизительно и неполно, но сработать может...)

[limarodessa]

Евгений Машеров в сообщении #1257897 писал(а):

Если данные о количестве можно получать достаточно часто, то можно попытаться посчитать производные количеств хищников и жертв численно по некоторому множеству дней. Затем рассматривать величины $\dot{x_i}/x_i$...

Спасибо. Если можно несколько детализируйте некоторые моменты. Разумеется что такое производные я знаю. И что такое Рунге-Кутта тоже. Но был бы признателен если бы Вы конкретизировали (я ведь писал выше что я не математик) некоторые вещи, в частности - как численно посчитать производные. В пакетах (Wolfram Mathematica и иже) все это есть, но я буду считать все вручную и хотелось бы, чтобы не насчитать туфту, во всем разобраться.

[Евгений Машеров]

Ну, вот если эти параметры можно получать с некоторым шагом по времени h, то оценка производной может быть, например, такой:
$y'(t)=\frac{y(t+h)-y(t-h)}{2h}$
или другой, см. "Численные методы", "Численное дифференцирование"
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0 ... 0%B8%D0%B5
А дальше полученные значения использовать для оценки коэффициентов при помощи регрессии.

[limarodessa]

Евгений Машеров в сообщении #1258087 писал(а):

Ну, вот если эти параметры можно получать с некоторым шагом по времени h, то оценка производной может быть, например, такой:
$y'(t)=\frac{y(t+h)-y(t-h)}{2h}$
или другой, см. "Численные методы", "Численное дифференцирование"
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0 ... 0%B8%D0%B5
А дальше полученные значения использовать для оценки коэффициентов при помощи регрессии.

Спасибо. Пока буду разбираться с численным дифференцированием, а потом займусь регрессией, и с Вашего позволения, задам вопрос по регрессии... но это несколько позже...

[Евгений Машеров]

Тут ещё может оказаться полезно, что $\frac {y'} y=(\ln(y))'$
То есть может быть выгоднее дифференцировать логарифмы количеств.