Максимально точный подсчет константы

[kthxbye]

$(\sum\limits_{p=2}^{p_{k}}p^\frac{1}{p-1})-\ln(p_{k})-k\approx0,24$

Где и каким образом можно максимально точно подсчитать данную константу? Можно ли преобразовать выражение, чтобы выразить ее через другие известные константы?

[Dmitriy40]

Для 10 миллионов простых чисел, 100 миллионов, миллиарда и 10 милилардов константа равна соответственно $0{,}24060,\;0{,}24050,\;0{,}24045,\;0{,}24043$ - видно что при увеличении количества чисел в 10 раз шаг уменьшения константы падает примерно вдвое, что даёт оценку при дальнейшем увеличении количества чисел около $0{,}240411$.
Поделитесь, а зачем Вам точное значение этой константы и насколько точное?

[Dmitriy40]

С оценкой я ошибся, вставив в свою программу генератора простых чисел расчёт этой формулы, получил следующий результат для чисел до $10^{13}$ (общий вид и крупно, кликабельно):

Общий тренд на уменьшение всё ещё заметен, особенно на крупном плане, но как пойдёт дальше сказать трудно, может и выровняться на уровне $\approx0{,}2404172$. И уж точно непохоже чтобы до $10^{15}$ ушла вниз до $0{,}24041138$ ($1/5$ постоянной Апери).

[Dmitriy40]

Обновление информации, До $20\cdot 10^{12}$, только крупный план, кликабельно:

[Dmitriy40]

Были у меня некоторые сомнения насчёт точности вычислений (особенно суммирования триллионов близких значений) и наличии перегиба (выхода почти на константу) в районе 10-40 триллионов, потому не выкладывал продолжение эпопеи. Недавно переделал метод суммирования, перезапустил счёт, оказалось до $40\cdot10^{12}$ погрешность везде не превышает $10^{-10}$, график же колеблется примерно на $10^{-7}$, т.е. результаты можно считать верными, потому вот продолжение до $10^{14}$ (только крупный план, кликабельно):

Дальше продолжать смысла не вижу, видно что уменьшение фактически прекратилось и никаких позывов дойти до $1/5$ постоянной Апери в обозримых рамках не прослеживается.