дискр. множ., замыкание которого имеет мощность континуума

[Trueman]

Существует ли дискретное множество на плоскости замыкание которого имеет мощность континуума, существует ли такое множество на прямой?

[finanzmaster]

Trueman писал(а):

Существует ли дискретное множество на плоскости замыкание которого имеет мощность континуума, существует ли такое множество на прямой?

А что такое дискретное множество?
То же - что и не более чем счетное?

Если да - то,по крайней мере, на прямой за примером далеко ходить не надо - множество действительных чисел R есть замыкание множества рациональных Q

[Trueman]

finanzmaster писал(а):

Trueman писал(а):

Существует ли дискретное множество на плоскости замыкание которого имеет мощность континуума, существует ли такое множество на прямой?

А что такое дискретное множество?
То же - что и не более чем счетное?

Если да - то,по крайней мере, на прямой за примером далеко ходить не надо - множество действительных чисел R есть замыкание множества рациональных Q

Дискретное множество - это множество, состоящее только из изолированных точек. Например натуральные числа.

[Руст]

Дискретное множество это множество, на котором индуцируется дискретная топология от топологии объемлевающего пространства (плоскости в первом случае и прямой во втором), т.е. для каждой точки существует епсилон больше нуля (зависящей от точки), что в епсилон окрестности других точек из этого множества нет.
Соответственно в указанных пространствах все дискретные множества имеют счётную мощность, однако не всякое счётное множество является дискретным, например множество рациональных чисел не дискретно. Но ответы на эти вопросы не сложно получаются нет и нет.

[Trueman]

Руст писал(а):

Дискретное множество это множество, на котором индуцируется дискретная топология от топологии объемлевающего пространства (плоскости в первом случае и прямой во втором), т.е. для каждой точки существует епсилон больше нуля (зависящей от точки), что в епсилон окрестности других точек из этого множества нет.
Соответственно в указанных пространствах все дискретные множества имеют счётную мощность, однако не всякое счётное множество является дискретным, например множество рациональных чисел не дискретно. Но ответы на эти вопросы не сложно получаются нет и нет.

Почему нет?, на прямой вроде бы легко построить такое множество.

[Руст]

Да ошибся (сказал не подумав), достаточно расмотреть множество состоящее из чисел вида $\frac {a}{p^n}$. Где a не имеет цифр 0 и (p-1) в р -ичном исчислении. Тогда окрестность длины $p^{-n} не содержит других точек. Этот пример легко переносится и на многомерные случаи.

[Руст]

точнее окрестность длины $p^{-n-1}$ не имеет других точек.

[Trueman]

А в троичной системе счисления, например, это множество будет состоять только из чисел записанных с помощью нулей и едениц получается?

[Руст]

Да получается. Я несколько подстраховывался. Можно взять множество, не имеющих цифру p-1, аналогично, не имеющих 0.

[Trueman]

а выбирается одно или их счётное количество? И не очень понятно почему замыкание такого множества будет мощности континуума.

[er]

Trueman писал(а):

Существует ли дискретное множество на плоскости замыкание которого имеет мощность континуума, существует ли такое множество на прямой?

Существует. Если $X$ сепарабельное метризизуемое пространство без изолированных точек (например, прямая), то для каждого замкнутого нигде не плотного $F\subset X$ существует дискретное счетное $D\subset X\setminus F$, для которого $F$ является множеством предельных точек.

В качестве примера проще всего взять $X=[0,1]$, $F$ - Канторов дисконтиниум (множество точек, в троичной записи которых есть только 0 и 1). Множество $F$ разбивает $[0,1]\setminus F$ на счетное множество интервалов, в качестве $D$ берем середины этих интервалов.

[Руст]

1)Во первых, это можно сделать и в двоичном исчислении. Но при двоичном и троичном исчислении возникают ограничения. Например существует функция f(n) стремящиеся к бесконечности, что в n значном числе не менее f(n) цифр отличны от 0 и p-1.
2)Но то, что при p>3 предельных точек континиум это очевидно, достаточно сопоставить с числами представленными в р-2 ичном исчислении.

[er]

Первоночальная задача в достаточной степени элементарна. Можно формулировку в некотором смысле "перевернуть" и получится намного более нетривиальное утверждение.

Пусть $\mathbb{R}$ прямая, $\mathbb{Q}$ рациональные числа, $\mathbb{P}=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ иррациональные числа. Для $Q,P\subset \mathbb{R}$, будем говорить, что {\it $P$ конденсируется вокруг $Q$} если для любой окрестности $U$ множества $Q$ множество $P\setminus U$ не более чем счетно. Множество $P$ конденсируется вокруг $Q$ если и только если для любого несчетного $L\subset P$ существует последовательность $(x_n)_{n=1,2,...}\subset L$, сходящаяся к некоторой точке из $Q$. \newtheorem*{questionA}{1. Вопрос} \begin{questionA} Существует ли несчетное $P\subset \mathbb{R}$ и счетное $Q\subset \mathbb{R}$, так что $P$ конденсируется вокруг $Q$? \end{questionA} Этот вопрос эквивалентен следующему: \newtheorem*{questionB}{2. Вопрос} \begin{questionB} Существует ли несчетное $P\subset \mathbb{P}$, которое конденсируется вокруг $\mathbb{Q}$? \end{questionB}

[Руст]

Во первых, зачем надо было писать P - иррациональные, Q -рациональные числа (чтобы запутать?).
Во вторых U -окрестность Q (я думаю окрестность некоторой точки) ?
В третьих в приведённом ранее примере Q точки изолированные, а значит у каждой точки существует U, где нет других точек из P (т.е. не более счётного количества точек P).
Поэтому, я ничего не понял из того, что вы написали.

[er]

Руст писал(а):

Во первых, зачем надо было писать P - иррациональные, Q -рациональные числа (чтобы запутать?).

нет

Руст писал(а):

Во вторых U -окрестность Q (я думаю окрестность некоторой точки) ?

Правильно то что написано - U окрестность Q. То что U окрестность Q означает, что U открыто и $Q\subset U$.

Руст писал(а):

В третьих в приведённом ранее примере Q точки изолированные, а значит у каждой точки существует U, где нет других точек из P (т.е. не более счётного количества точек P).

er писал(а):

Первоночальная задача в достаточной степени элементарна. Можно формулировку в некотором смысле "перевернуть" и получится намного более нетривиальное утверждение.

Я сформулировал другую задачу.

Руст писал(а):

Поэтому, я ничего не понял из того, что вы написали.

бывает