Оператор и операция. В чём различия?

[viv1313r]

В википедии есть ссылка на Виноградова, но у него ничего про операцию нет. У Виноградова только про оператор. Оператор - отображение одного множества на другое, каждое из которых наделено некоторой структурой (алгебраическими операциями, топологией, отношением порядка). Но это же больше похоже на определение самой операции?
Венцель определяет "операцию", но без математической постановки: "под операцией мы будем понимать любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели".
В актуарной математике тоже ничего не нашёл.
Чисто интуитивно можно сказать, что операция - само отображение, а оператор - то, что это отображение кодирует. Но и на этот счёт мнения разделяются.
Кто-то может подсказать ссылку на источник, где различие формализовано?

[arseniiv]

В большой области вокруг алгебры операция — это функция из декартовой степени какого-то множества в него же, т. е. функция $n$ аргументов, берущихся из $A$ и значением в $A$; $n$ называется местностью или арностью операции. (Словоупотребление: нульарная/нульместная, унарная/одноместная, бинарная/дву(х)местная, тернарная/трёхместная операция — соотв. местностей 0, 1, 2, 3. «Латинского» названия четырёхместной и более не встречал, да и эти конкретные случаи практически и не попадаются.)

[Mental]

(Отступление от темы: операнд)

viv1313r в сообщении #1257202 писал(а):

Кто-то может подсказать ссылку на источник, где различие формализовано?

ОПЕРАНД (от лат. орегог — работаю, действую) — аргу­мент операции; грамматическая конструкция, обознача­ющая выражение, задающее значение аргумента операции; иногда О. наз. место, позиция в тексте, где должен стоять аргумент операции.

"Математический энциклопедический словарь" Ю. В. Прохоров

GAA:

Не развиваем это отступление

[viv1313r]

arseniiv в сообщении #1257264 писал(а):

В большой области вокруг алгебры операция — это функция из декартовой степени какого-то множества в него же

Здесь, похоже, "операция" - почти синоним "функция". В общем виде, насколько я понял, операция может отображать элементы одного множества в элементы другого множества, т.е. является каким-то видом отображения? И откуда вы черпаете информацию? Можно ссылочку на источник?

(Отступление от темы: операнд)

-- 20.10.2017, 21:00 --

Mental в сообщении #1257332 писал(а):

viv1313r в сообщении #1257202 писал(а):

Кто-то может подсказать ссылку на источник, где различие формализовано?

ОПЕРАНД (от лат. орегог — работаю, действую) — аргу­мент операции; грамматическая конструкция, обознача­ющая выражение, задающее значение аргумента операции; иногда О. наз. место, позиция в тексте, где должен стоять аргумент операции.

Большое спасибо за ответ! Что такое операнд я знаю. А вот с оператором проблемка...

[Someone]

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

В общем виде, насколько я понял, операция может отображать элементы одного множества в элементы другого множества

Но не любого другого, а вполне определённого.

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

Можно ссылочку на источник?

Математическая энциклопедия. Том 1. "Советская энциклопедия", Москва, 1977.
Статья "Алгебраическая операция".

В общем случае $n$-арная операция на множестве $A$ — это отображение $\omega\colon A^n\to A$.

[arseniiv]

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

Здесь, похоже, "операция" - почти синоним "функция".

Ключевое тут то, что операция действует на одном и том же множестве, а ещё записывается обычно в инфиксной форме. Ну и, если о словах, синонимы обычно более-менее равноправны, а функция — это гипероним операции, любая операция является функцией, но не наоборот.

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

В общем виде, насколько я понял, операция может отображать элементы одного множества в элементы другого множества, т.е. является каким-то видом отображения?

Ну это просто отображение получается тогда, раз прозвольное в произвольное.

[provincialka]

viv1313r А примеры можно привести? Вот, например, дифференцирование - это оператор. А сложение -- операция. Двухместная.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1257419 писал(а):

Ключевое тут то, что операция действует на одном и том же множестве

Да как сказать. Бывают, например, линейные пространства. И в них бывают операции.

[Евгений Машеров]

viv1313r в сообщении #1257202 писал(а):

Венцель определяет "операцию", но без математической постановки: "под операцией мы будем понимать любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели".

(Оффтоп)

Отчёт спорткомитета: "Подготовлено боксёров обществом Динамо 10, обществом Спартак 20, клубом собаководов 30, итого 60 боксёров"

Это не те операции. Это определение из курса "Исследование операций", и там первоначально под операциями понимались военные (а матметоды для их оптимального планирования, в частности, снабжения), и к математическим операциям отношения не имеет. Потом обобщили на все виды целенаправленной деятельности, которую хотят выполнить наилучшим путём, но это всё ещё внематематические суждения.

[viv1313r]

provincialka в сообщении #1257462 писал(а):

viv1313r А примеры можно привести? Вот, например, дифференцирование - это оператор. А сложение -- операция. Двухместная.

Почему дифференцирование - это оператор? А именно сложение - операция?
Примеров привести не могу, ибо не понимаю, где операция, а где оператор. Однако если идти в конве, что я предложил вначале (операция - процесс, оператор - обозначение), то дифференцирование и сложение суть операции, а знаки +, d суть операторы. Опять же, это моя версия, но хочется ссылку на какого-нибудь авторитета в этой области.

-- 21.10.2017, 09:16 --

Someone в сообщении #1257345 писал(а):

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

В общем виде, насколько я понял, операция может отображать элементы одного множества в элементы другого множества

Но не любого другого, а вполне определённого.

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

Можно ссылочку на источник?

Математическая энциклопедия. Том 1. "Советская энциклопедия", Москва, 1977.
Статья "Алгебраическая операция".

В общем случае $n$-арная операция на множестве $A$ — это отображение $\omega\colon A^n\to A$.

С алгебраической операцией понятно, спасибо! Осталось разобраться с просто операцией.

-- 21.10.2017, 09:20 --

Евгений Машеров в сообщении #1257481 писал(а):

viv1313r в сообщении #1257202 писал(а):

Венцель определяет "операцию", но без математической постановки: "под операцией мы будем понимать любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели".

Это не те операции. Это определение из курса "Исследование операций", и там первоначально под операциями понимались военные (а матметоды для их оптимального планирования, в частности, снабжения", и к математическим операциям отношения не имеет. Потом обобщили на все виды целенаправленной деятельности, которую хотят выполнить наилучшим путём, но это всё ещё внематематические суждения.

И я об том. А хотелось бы математическое определение! Иначе получается, что самые формальные люди в мире - математики - обращаются с терминами, которые не формализовали.... И это очень странно...

-- 21.10.2017, 09:27 --

arseniiv в сообщении #1257419 писал(а):

viv1313r в сообщении #1257342 писал(а):

Здесь, похоже, "операция" - почти синоним "функция".

Ключевое тут то, что операция действует на одном и том же множестве, а ещё записывается обычно в инфиксной форме. Ну и, если о словах, синонимы обычно более-менее равноправны, а функция — это гипероним операции, любая операция является функцией, но не наоборот.

Хм... меня наоборот учили. Что функция отображает множество в это же множество, т.е. фактически является алгебраической операцией, как сказал Someone.

Someone в сообщении #1257345 писал(а):

В общем случае $n$-арная операция на множестве $A$ — это отображение $\omega\colon A^n\to A$.

[provincialka]

viv1313r в сообщении #1257490 писал(а):

Примеров привести не могу, ибо не понимаю, где операция, а где оператор.

Извините, я неудачно выразилась. Я не ждала примеров от вас, я спрашивала, можно ли мне вам предложить примеры. А то вы только определения просите.

Вообще странно, что вы такое большое значение придаете терминологии... Ну, вот такая она, и не во всех книгх одинаковая. Математику достаточно, если в начале статьи/книги написано: "Будем называть кракозяброй то-то и то-то". Ну-- и будет так считать, пока читает эту книгу.

viv1313r в сообщении #1257490 писал(а):

а знаки +, d суть операторы.

Ну нет! вот такое понимание уж очень нетрадиционное. Знаки есть знаки, просто способ записи.

Не знаю ссылок, погу только сказать, как понимаю я:
1. Есть общее поняте отображения из множества $A$ в множество $B$. Иногда его называют "функцией".
2. Для частных случаев отображений есть отдельные названия, но они не стопроцентно устоявшиеся
а) функция (в узком смысле), числовое отображение на множестве чисел, например $A\subset\mathbb R,B\subset\mathbb R$. Числа могут быть и комплексными
б) функционал. $A$ произвольно, $B$ -- числовое
в) последовательность, $A=\mathbb N$, $B$ -- произвольно
г) оператор -- для более сложных случаев. Например, когда $A$ и $B$ -- линейные пространства, или пространства функций и т.п.
д) операция -- чаще всего предполагается, что у операции несколько аргументов, хотя и не обязательно. Например, сумма (элементов векторного пространства) имеет два аргумента. А умножение на число -- один (точнее, векторный -- один). Обычно значение операции имеет ту же природу, что и ее аргументы... Но это не обязательно (пример -- скалярное произведение векторов)

Между этими классами нет жестких границ, одно и то же отображение можно назвать разными "именами". Скажем, "оператор дифференцирования" и "операция дифференцирования". В этом случае операция одноместная.

Ещё раз повторюсь, это только мои привычки употребления слов. Точнее "только привыски" но не "только мои"

-- 21.10.2017, 11:25 --

viv1313r в сообщении #1257490 писал(а):

математики - обращаются с терминами, которые не формализовали

А это потому, что математикам редко приходится обращатьс с "операторами" или "операциями" "вообще". Но каждый конкретный оператор/операция заданы вполне четко.

[ewert]

provincialka в сообщении #1257503 писал(а):

функция (в узком смысле), числовое отображение на множестве чисел

Далеко не обязательно. Бывают функции нескольких переменных, и никто их функционалами не обзывает. Бывают векторнозначные, и они -- тоже функции.

[provincialka]

ewert
Совершенно с вами согласна! Думаю, тут строгого подразделения нет... Да и не нужно! Есть общее понятие отображения, вот оно должно быть определено строго. А остальное -- так, для разнообразия жизни

Кстати, сейчас заметила. Если отображение $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ , то в матанализе его назовут вектор-функцией, а в линале -- оператором (особенно, если отображение линейное). Шизофрения Привычка, как было сказано!

Впрочем, я думаю, проблема ТС в том, что он отделяет "процесс" от "результата". Но для математика отображение -- это именно "результат"... Как именно происходит "возведение в квадрат" или сложение векторов -- не суть важно.

[Someone]

ewert в сообщении #1257480 писал(а):

arseniiv в сообщении #1257419 писал(а):

Ключевое тут то, что операция действует на одном и том же множестве

Да как сказать. Бывают, например, линейные пространства. И в них бывают операции.

С точки зрения алгебры умножение вектора на число — не операция, а оператор. Хотя терминология эта не очень строго соблюдается, и можно встретить "операцию умножения вектора на число".

[provincialka]

Someone в сообщении #1257542 писал(а):

Хотя терминология эта не очень строго соблюдается

Думаю, каким-нибудь первокурсникам лишний раз поминать страшный "оператор" не обязательно! Хотя, конечно "операцией" умножение будет только при фиксированном коэффициенте. Например "умножение на 2". Это если допускать существований унарных операций.