Краевая задача о распространении тепла в стержне

[artey]

Здравствуйте,возникли затруднения с задачей по предмету - уравнения мат.физики. Требуется: поставить краевую задачу о распространении тепла в тонком однородном стержне длины $l$, если на его левом конце поддерживается нулевая температура, к правому концу подводится постоянный тепловой поток (т.е кол-во теплоты на единицу площади) $q=\operatorname{const}$, а начальная температура внутренних точек стержня равна $\sin \frac{\pi x }{2l}$.
$u(x,t)$- температура в момент t.

Уравнение теплопроводности получил: $\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.

Граничные условия:
1)На левом конце поддерживается нулевая температура: $u(0,t)=0$
2) К правому концу подводится постоянный тепловой поток $q=\operatorname{const}$. Вот тут как раз и затруднение. Как в данном случае записать граничное условие?
Начальное условие: начальная температура внутренних точек стержня равна $\sin \frac{\pi x }{2l}$: $u(x,0)=\sin \frac{\pi x }{2l}$

[fred1996]

У вас противоречие в условии.
Начальное распределение температуры задано так, что на правом конце градиент температуры отрицательный, а поток тепла справа налево.
Тогда начальное распределение температуры должно быть типа $-T_0\sin\frac{\pi x}{2l}$
Тогда T_0 вы можете расчитать, если дополнительно известно поперечное сечение и к-т теплопроводности материала. Теперь задача сводится к одномерной задаче со смешанными граничными условиями. На левом конце известна температура, а на правом ее производная.

Лично я разбил задачку на две.
1. Решаете задачу с начальным распределением температуры, заданной у вас, но постоянными нулевыми температурами на концах. Такая задача имеет достаточно простое решение. Таким образом вы выясните, как меняется градиент температуры на правом конце.
2. Задача с постоянной нулевой температурой вдоль стержня, но известной временной зависимостью градиента температуры на правом конце и опять же постоянной нулевой температурой на левом.

В пределе у вас получится линейное распределение температуры вдоль стержня с известным градиентом температуры.

[artey]

fred1996, такое условие было приведено в задании. Я хотел записать 2 граничное условие в виде $u(l,t)=...$, только не знаю, что в правой части записать.

[fred1996]

Ну хорошо. Вспомните, как выглядит уравнение для передачи тепла:
$\triangle Q = -\lambda\frac{\triangle T}{\triangle x}\triangle S\triangle t$

Отсюда $q = \frac{\triangle Q}{\triangle t}=-\lambda \frac{\triangle T}{\triangle x}\triangle S}$
Или $\frac{\triangle T}{\triangle x}= - \frac{q}{\lambda \triangle S}$ на правом конце. То есть граничное условие на правом конце - это постоянная производная температуры по координате.

[artey]

fred1996, спасибо.

[ewert]

fred1996 в сообщении #1257139 писал(а):

У вас противоречие в условии.
Начальное распределение температуры задано так, что на правом конце градиент температуры отрицательный, а поток тепла справа налево.
Тогда начальное распределение температуры должно быть типа $-T_0\sin\frac{\pi x}{2l}$

Это не имеет значения -- начальное условие вовсе не обязано быть согласовано с граничными.

fred1996 в сообщении #1257161 писал(а):

Или $\frac{\triangle T}{\triangle x}= - \frac{q}{\lambda \triangle S}$ на правом конце.

Если на правом, то не минус. Кроме того, площадь (поскольку она не задана) тут совершенно не при чём -- имелась в виду плотность потока.

[svv]

Градиент на правом конце в начальных условиях не отрицательный, а нулевой.

[fred1996]

svv в сообщении #1257203 писал(а):

Градиент на правом конце в начальных условиях не отрицательный, а нулевой.

А ну да начальное распределение температуры же не симметричное.
Тогда если начальный градиент нулевой, как там может быть постоянный поток тепла?

[ewert]

fred1996 в сообщении #1257311 писал(а):

Тогда если начальный градиент нулевой, как там может быть постоянный поток тепла?

Запросто может. Нулевой -- он лишь до начала. А в начале мы включаем другой режим теплообмена. Ну тумблером щёлкаем.

[fred1996]

ewert в сообщении #1257358 писал(а):

fred1996 в сообщении #1257311 писал(а):

Тогда если начальный градиент нулевой, как там может быть постоянный поток тепла?

Запросто может. Нулевой -- он лишь до начала. А в начале мы включаем другой режим теплообмена. Ну тумблером щёлкаем.

Это как это? Вы не можете просто тумблером мгновенно нулевой градиент превратить в ненулевую константу. Чтобы тепло потекло, где-то должна быть разница температур. Можно, конечно, тумблером задать справа от границы ненулевой градиент. Но в начальный момент поток тепла все равно будет нулевым. То есть функция потока тепла на границе будет плавно возрастающей с нуля. Она не может иметь скачок. Если только там не задать ненулевую температуру. Но тогда у на возникнет сингулярность на границе с бесконечным потоком вначале.

[ewert]

fred1996 в сообщении #1257365 писал(а):

Но в начальный момент поток тепла все равно будет нулевым. То есть функция потока тепла на границе будет плавно возрастающей с нуля.

В начале -- будет. А сразу же после начала -- мгновенно перестанет быть, и всё мгновенно и бесконечно сгладится. Таковы уж свойства уравнения теплопроводности.

Это называется идеализацией, которая в физике встречается на каждом шагу. Вот совсем грубый пример. Нагрели стерженёк до некоторой температуры, а потом приложили к концам тающий лёд. Начальное распределение (в сочетании с граничными условиями) -- жутко разрывно, кошмар. И -- ничего, все счастливы. Физики -- поскольку задачка вполне реалистична. Математики -- потому, что она ещё и корректна.

[fred1996]

ewert
Ну хорошо, тогда как будет выглядеть решение этой задачи. Хотя бы на пальцах. Хочется посмотреть на гладкую по двум переменым функцию с разрывом производной. Или решение - не гладкая внутри стержня функция?

[ewert]

fred1996 в сообщении #1257398 писал(а):

Ну хорошо, тогда как будет выглядеть решение этой задачи. Хотя бы на пальцах

Самое что ни на есть на пальцах -- это ряд Фурье. По собственным функциям соотв. задачи Штурма-Лиувилля. Он, этот ряд, сходится безумно быстро. Соответственно, и суммы этого ряда окажутся в любой момент времени (кроме нулевого) безумно гладкими. Независимо от разрывности начального условия.

Интуитивно же всё и тем паче очевидно. Ну вот сглаживается всё и всё.