Задачки по матфизике

[AD]

Ну хорошо, направление градиента - это уже направление Ладно, пора кончать этот разговор.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

Должна

[Henrylee]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

Должна

Да ладно? А польза от этого какая? Вообще-то припоминаю, что встречал оба варианта. Но для чего нужен вариант с зависимостью от длины.. (кажется, в той терминологии это называлось "производная по вектору", а не по направлению)

[zoo]

а почему никто не решает задачу 3)?

[Shellys]

ewert
Да,полуокружности должны быть вверху. А так решать, как предлагаете, уже пробовала. Оказалось что не правильно! Нужно применять функцию Грина)матфизика всё таки)

[Someone]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

Должна

При стандартном определении не зависит.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. "Наука", Москва, 1969.

Определение сформулировано в пункте 184.

[Александр Т.]

Shellys писал(а):

Здравствуйте Нужна помощь в решении задач:
...
2.Найти общий интеграл уравнения $sinx*dz/dx+siny*dz/dy=sinz$
...

Если имеется в виду уравнение

$$\sin x \dfrac{\partial z}{\partial x} + \sin y \dfrac{\partial z}{\partial y} = \sin z, $$

то это квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое, используя метод характеристик, всегда можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой на единицу больше числа переменных неизвестной функции. В данном случае Вы получите очень простую систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод характеристик Вам должны были изложить на лекциях (раз задали решить это уравнение). Если что-то в этом методе Вам непонятно, то напишите, что именно.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

При стандартном определении не зависит.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. "Наука", Москва, 1969.

А при стандартном определении из Мищенко-Фоменко (Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Физматлит, 2004, стр.90) зависит

[V.V.]

zoo писал(а):

а почему никто не решает задачу 3)?

А что там решать-то? Обычное уравнение Гамильтона-Якоби.

Порекомендую книгу
Багров, Белов, Задорожный, Трифонов. Методы математической физики. Том IV. Уравнения математической физики. Томск, 2002.

[ewert]

Shellys писал(а):

ewert
Да,полуокружности должны быть вверху. А так решать, как предлагаете, уже пробовала. Оказалось что не правильно! Нужно применять функцию Грина)матфизика всё таки)

Ну так и примените. Комбинация тех частных производных (что внутри ф-лы Грина) откровенную константу и даст, что и выведет на площадь того кольца (там умн. на два или на минус два -- лень думать).

Все банальные пути дают одни и те же банальные рез-ты.

Добавлено спустя 5 минут 20 секунд:

Henrylee писал(а):

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

должна ли производная по направлению зависеть от длины вектора, задающего это направление?

Должна

Да ладно? А польза от этого какая? Вообще-то припоминаю, что встречал оба варианта. Но для чего нужен вариант с зависимостью от длины.. (кажется, в той терминологии это называлось "производная по вектору", а не по направлению)

Все, что нужно -- нужно исключительно для удобства. Хоцца фиксировать вектор, задающий направление, единичным -- ради бога, никто Вас в суд не потянет. Только, как правило, это некомфортно (ну хоть из-за ненужных заклинаний насчёт выбора знаков).

[Someone]

tolstopuz писал(а):

Someone писал(а):

При стандартном определении не зависит.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. "Наука", Москва, 1969.

А при стандартном определении из Мищенко-Фоменко (Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Физматлит, 2004, стр.90) зависит :)

У меня нет этой книги и я не знаю, какой терминологией они пользуются. Но обычно это называется производной Ли.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

При стандартном определении не зависит.

Зорич подтверждает определение Фихтенгольца, но подходит к этому вопросу более педантично:

Производную по единичному вектору данного направления обычно называют производной по данному направлению.

Насколько я понял, такое определение чаще встречается в анализе, а в дифференциальной геометрии его полезность сомнительна, поэтому там термин "производная по направлению" или "directional derivative" используется для произвольных векторов.

В википедии совсем забавно:

Usually directions are taken to be normalized, so $\vec{v}$ is a unit vector, although the definition above works for arbitrary (even zero) vectors.