Вероятностное доказательство

[RIP]

vicvolf в сообщении #1256637 писал(а):

Немного возражу. Не произвольную числовую функцию, а только инъективную, чтобы не повторялись значения.

Произвольную. При чём здесь инъективность? Случайная величина может быть и постоянной: это же просто измеримая функция (а в нашем случае любая функция измерима).

vicvolf в сообщении #1256637 писал(а):

А чем отличаются вероятностные пространства для $\xi_{n}$ и $f(n)$?

Для $f$ нет никакого вероятностного пространства, это функция на $\mathbb{N}$. (Писать $f(n)$ нехорошо, поскольку я считаю $n$ фиксированным). Её можно ограничить на $\Omega_n=\{1,2,\dotsc,n\}$ — получится некоторая случайная величина на вероятностном пространстве $\left(\Omega_n,\mathcal{A}_n,\mathbb{P}_n\right)$. Вот эту случайную величину я и обозначаю через $\xi_n$ (нижний индекс это не аргумент случайной величины, а её номер). То есть $\xi_n$ — это просто ограничение функции $f$ на $\Omega_n$: $\xi_n(k)=f(k)$, $k\in\Omega_n$.

vicvolf в сообщении #1256637 писал(а):

Наверное…

Нет, у меня верно: я домножил обе части неравенства на $n$ (вероятность — это количество элементов, поделённое на $n$).

vicvolf в сообщении #1256637 писал(а):

Значит теорема Эрдёша–Каца о слабой сходимости с вероятностью меньше 1.

Нет, теорема Эрдёша–Каца о слабой сходимости (или сходимости по распределению) определённой последовательности случайных величин. Без всяких «с вероятностью…». То есть фактически на сами случайные величины мы плюём, а вместо них изучаем их функции распределения, которые являются обычными функциями из $\mathbb{R}$ в $[0,1]$.

vicvolf в сообщении #1256637 писал(а):

А вот для получения первого равенства из второго вводится случайная величина, которая имеет другое вероятностное пространство.

Какое другое вероятностное пространство? Ещё раз. Мы рассматриваем последовательность случайных величин $\eta_n$, каждая определена на своём вероятностном пространстве $\left(\Omega_n,\mathcal{A}_n,\mathbb{P}_n\right)$ (поскольку мы говорим о сходимости по распределению, то случайные величины не обязаны быть определены на одном и том же вероятностном пространстве):

$$\eta_n(k)=\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}},\quad k\in\Omega_n.$$

Тогда функция распределения $\eta_n$ — это

$$F_{\eta_n}(x)=\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert,$$

а характеристическая функция — это

$$\varphi_{\eta_n}(t)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\exp\left(\mathrm{i}t\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\right).$$

Поскольку $\Phi(x)$ — это функция распределения, а $\mathrm{e}^{-t^2/2}$ — характеристическая функция для стандартного нормального распределения, то теорема Леви (метод характеристических функций) говорит:

$$\lim_{n\to\infty}F_{\eta_n}(x)=\Phi(x)\quad(\forall x\in\mathbb{R})\iff\lim_{n\to\infty}\varphi_{\eta_n}(t)=\mathrm{e}^{-t^2/2}\quad(\forall t\in\mathbb{R}).$$

Здесь никаких вероятностей уже фактически нет.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1256663 писал(а):

vicvolf в сообщении #1256637 писал(а):

Немного возражу. Не произвольную числовую функцию, а только инъективную, чтобы не повторялись значения.

Произвольную. При чём здесь инъективность? Случайная величина может быть и постоянной: это же просто измеримая функция (а в нашем случае любая функция измерима).

Перепутал с другим вероятностным пространством, которое использовал ранее.

Цитата:

Нет, теорема Эрдёша–Каца о слабой сходимости (или сходимости по распределению) определённой последовательности случайных величин. Без всяких «с вероятностью…». То есть фактически на сами случайные величины мы плюём, а вместо них изучаем их функции распределения, которые являются обычными функциями из $\mathbb{R}$ в $[0,1]$.

Очень доходчиво!

Цитата:

Мы рассматриваем последовательность случайных величин $\eta_n$, каждая определена на своём вероятностном пространстве $\left(\Omega_n,\mathcal{A}_n,\mathbb{P}_n\right)$ (поскольку мы говорим о сходимости по распределению, то случайные величины не обязаны быть определены на одном и том же вероятностном пространстве):

$$\eta_n(k)=\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}},\quad k\in\Omega_n.$$

Тогда функция распределения $\eta_n$ — это

$$F_{\eta_n}(x)=\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert,$$

а характеристическая функция — это

$$\varphi_{\eta_n}(t)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\exp\left(\mathrm{i}t\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\right).$$

Поскольку $\Phi(x)$ — это функция распределения, а $\mathrm{e}^{-t^2/2}$ — характеристическая функция для стандартного нормального распределения, то теорема Леви (метод характеристических функций) говорит:

$$\lim_{n\to\infty}F_{\eta_n}(x)=\Phi(x)\quad(\forall x\in\mathbb{R})\iff\lim_{n\to\infty}\varphi_{\eta_n}(t)=\mathrm{e}^{-t^2/2}\quad(\forall t\in\mathbb{R}).$$

Здесь никаких вероятностей уже фактически нет.

Спасибо, понял.