17 чисел на доске

[Ktina]

На доске написаны 17 натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых пяти из них кратно 2030.
Докажите, что хотя бы одно из написанных чисел само по себе кратно 2030.

[zhekas]

Число 2030 раскладывается на 4 простых делителя

Предположим среди 17 чисел нет кратных 2030. То есть каждое число не делится как минимум на один простой делитель 2030.

Тогда по теореме Дирихле из 17 найдутся как минимум 5, которые не делятся на один и тот же простой делитель 2030.

Следовательно, произведение этих пяти чисел не кратно 2030. Получили противоречие.

[Ktina]

zhekas
Большое спасибо!