2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 задачи по рядам
Сообщение09.06.2008, 23:51 
Аватара пользователя
1.Можно ли указать такой сходящийся ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$, что ряд
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}a^3_k$ расходится?
Чувствую,что можно, но придумать никак не могу :(
2.Сходится ли ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln{n!}}$$?
Подсказывать не надо, просто если кто-то решил, просьба ответить "да" или "нет".
3.Найти множество $x$ для которых сходится ряд:
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$$
Очевидно сходится для неотрицательных целых, как быть с другими не понятно. Видно, что останется только часть последнего члена после раскрытия скобок, но это ничего мне не дало. Вообще похоже на бином.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 00:03 
Аватара пользователя
1. Думайте дальше. Что первое прыгнуло в мою голову, так это ряд, в котором на один положительный член приходится два или более отрицательных. (И все они при этом как-то в среднем убывают по модулю, достаточно медленно, чтобы он сходился, но недостаточно, чтобы сходился абсолютно.)
2. Очевидно, нет. Стирлинг.
3. Это не похоже на бином - это и есть бином.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 07:32 
Аватара пользователя
Вот стандартный пример к 1. :
\[
\sum {\frac{{\cos (\frac{{2\pi n}}{3})}}{{\ln (n + 1)}}} 
\]. Проверьте, что этот пример отвечает на первый вопрос утвердительно.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 09:11 
Аватара пользователя
По признаку Абеля-Дирихле. Частичные суммы ряда $$\sum\cos(\frac{2\pi n}{3})$$ ограничены в совокупности, а члены ряда $$\sum\frac{1}{\ln(n+1)}$$ монотонно убывают и стремятся к нулю. Следовательно ряд сходится.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 09:22 
Аватара пользователя
Осталось понять, почему расходится ряд из кубов членов исходного ряда.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 09:31 
Аватара пользователя
Второй расходится, можно без Стирлинга
$\[\ln n! = \sum\limits_{k = 1}^n {\ln k}  \leqslant n\ln n\]$
то есть для исходного ряда верна оценка
$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{\ln n!}}}  \geqslant \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{n\ln n}}} \]$
а как известно по интегральному признаку последний ряд расходится откуда следует расходимрсть исходного, прошу прощение за полное решение, так как думаю что со стирлингом намного проще и уже решили

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 09:34 
Аватара пользователя
Brukvalub Да, этого я пока не получил :( Зато второй ряд действительно расходится, если применить формулу Стирлинга.

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

Nikita.bsu хорошо придумал. А Стирлинг кстати дает такойже ряд.

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 10:56 
Аватара пользователя
Brukvalub признак я не нашел какой применить, но то, что ряд расходится получил с помощью "школьной" формулы :)
$$\cos^3(\frac{2\pi{n}}{3})=\frac{1}{4}(\cos(2\pi{n})+3cos(\frac{2\pi{n}}{3}))$$
А так как ряд $$\frac{1}{ln^3(n+1)}$$ расходится (он больше гармонического), а ряд $$cos(\frac{2\pi{n}}{3})$$ сходится, то доказано, что наш ряд из кубов расходится.

Касательно третьего ряда, есть мысль, что бином тут не поможет (я почему-то не нашел этот самый бином). По-моему, он точно расходится уже при $x=-1$. Тепепь надо его как-то зажать между другими рядами и по-видимому оттуда и проявится область сходимости.

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 12:08 
Аватара пользователя
Не знаю бином это или не бином, но можно привести к следующему виду
$\[\frac{{x \cdot (x - 1) \cdot ... \cdot (x - n + 1)}}{{n!}} = \frac{{( - 1)^n }}{n}\frac{{\Gamma ( - x + n)}}{{\Gamma ( - x)\Gamma (n)}} = \frac{{( - 1)^n }}{n}\frac{1}{{{\rm B}( - x,n)}}\]$.
Может что-нибудь подскажет

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 12:16 
Аватара пользователя
В 3. попробуйте использовать разложение функции \[
f(t) = (1 + t)^x \;,\;t = 1
\]

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 12:58 
Аватара пользователя
Brukvalub по-моему, это разложение имеет место
только при $|t|<1$, разве нет?

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 13:00 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
Brukvalub по-моему, это разложение имеет место
только при $|t|<1$, разве нет?
Когда как....Область сходимости зависит от показателя, именно об этом я и предлагаю Вам подумать.

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 13:19 
Аватара пользователя
Nikita.bsu, Brukvalub подумаю на вашими предложениями, но сдается мне это будет непросто...

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 17:47 
Аватара пользователя
Для 3-его примера. Нашел то что искал, вот линк
http://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_symbol
в числители стоит символ Похгаммера.

 
 
 
 Re: задачи по рядам
Сообщение12.06.2008, 19:12 
Spook писал(а):
3.Найти множество $x$ для которых сходится ряд:
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$$
Очевидно сходится для неотрицательных целых, как быть с другими не понятно.

Ясно, что вещественная часть $x$ должна быть больше (-1) -- иначе нарушается необходимое условие сходимости (члены ряда по модулю не убывают). Ясно также, что для вещественных $x$ этого и достаточно: ряд будет знакочередующимся и сходится по признаку Лейбница.

А вот как насчёт комплексных $x$ -- не знаю.

Хотя... Для абсолютной сходимости, кажется, достаточно ${\rm Re}\,x>0$, а необходимо ${\rm Re}\,x\geqslant0$.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group