Locus-математика в школе 2003

[ghenghea]

Consider a point $ M$ found in the same plane with the triangle $ ABC$, but not found on any of the lines $ AB,BC$ and $ CA$. Denote by $ S_1,S_2$ and $ S_3$ the areas of the triangles $ AMB,BMC$ and $ CMA$, respectively. Find the locus of $ M$ satisfying the relation:
$ (MA^2+MB^2+MC^2)^2=16(S_1^2+S_2^2+S_3^2)$

[gris]

Просто для проверки: центр правильного треугольника — удовлетворяет!

[Sergic Primazon]

ghenghea в сообщении #1255688 писал(а):

Consider a point $ M$ found in the same plane with the triangle $ ABC$, but not found on any of the lines $ AB,BC$ and $ CA$. Denote by $ S_1,S_2$ and $ S_3$ the areas of the triangles $ AMB,BMC$ and $ CMA$, respectively. Find the locus of $ M$ satisfying the relation:
$ (MA^2+MB^2+MC^2)^2=16(S_1^2+S_2^2+S_3^2)$

$\triangle ABC$ можно получить из правильного $\triangle A_1B_1C_1$ , как следствие осевого сжатия относительно оси проходящей через центр $G$ с коэффициентом $\gamma$.

$A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=a$

$$S_{A_1M_1B_1}^2+S_{B_1M_1C_1}^2+S_{C_1M_1A_1}^2= \dfrac{a^4}{16}+\dfrac{3}{8}a^2\cdot M_1G^2 \Rightarrow S_1^2+S_2^2+S_3^2= \gamma^2 \dfrac{a^2}{16} \left( a^2+6M_1G^2 \right)$$

$$AM^2+BM^2+CM^2=I_G+3GM^2$$

Где $I_G=(1+\gamma^2)\dfrac{a^2}{2}$ - момент инерции точек $A,B,C$ относительно точки $G$.

Получаем:

$$\left( (1+\gamma^2)\dfrac{a^2}{2}+3GM^2\right)^2= \gamma^2a^2\left( a^2+6M_1G^2 \right)$$

$MG \ge \gamma \cdot M_1G$

$ \left( (1+\gamma^2)\dfrac{a^2}{2}+3GM^2\right)^2\ge \left (\gamma a^2+3\gamma M_1G\right)^2 \ge \gamma^2a^4+6\gamma^2a^2M_1G^2$

Равенство достигается для равностороннего треугольника и точка $M$ расположена в его центре.

[Мастак]

Не ну тут явно многообразие точек.
А случай правильного треугольника для проверки того, что формула вообще не вырождена.
Тут (тута, здеся) надо наверно формулу Герона для площадей применить и
посмотреть - какие красивые формы алгебраические получаются, которые
отражают вероятные красивые геометрии.
PS А так ведь в одной формуле из трех величин MA MB MC - две величины как два параметра, а у плоской фигуры - две размерности.

[Sergic Primazon]

В предпоследней строчке косяк

$ \gamma^2a^2 (a^2+6M_1G^2) \ge\left( (1+\gamma^2)\dfrac{a^2}{2}+3 \gamma^2 M_1G^2\right)^2 \Leftrightarrow 0 \ge \left ( ( (1-\gamma^2)\dfrac{a^2}{2}-3\gamma^2 M_1G^2\right )^2$

Поэтому: $GM \perp l$ и $GM_1=GM_2=a\sqrt{\dfrac{1-\gamma^2}{6}}$