2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 11:17 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Тело, брошенное из точки А, попадает в точку В при минимальной скорости броска $V_1$.
Аналогично, для попадания из В в А минимум скорости броска равен $V_2$.
Воздуха нет, ускорение свободного падения $g$. Найти расстояние между А и В.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А почему только расстояние? Можно и $\Delta x,$ и $\Delta y.$
Красивое в лаконичности упражнение на параболу безопасности. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 11:22 
Заслуженный участник


28/12/12
7884
Симпатичная задачка, спасибо.

(Оффтоп)

Расстояние $l=\dfrac{V_1^2+V_2^2}{2g}$, разница высот $h=\dfrac{\left|V_1^2-V_2^2\right|}{2g}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 11:26 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, но для $\Delta y$ достаточна неизменность энергии.

-- Пн окт 16, 2017 12:35:48 --

А вот ещё, только что придумалось, в развитие.
Задана произвольная замкнутая ломаная $A_1A_2...A_n$. Перелёт из вершины $A_k$ в $A_{k+1}$ возможен при минимуме скорости броска $V_k$.
Найти периметр ломаной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хм. А если известны три точки и, соответственно, 6 скоростей из каждой в каждую - возможно ли восстановить их взаимное расположение в 3-мерном пространстве? Собственно, 5 неизвестных, и получается, одна скорость даже должна однозначно определяться остальными пятью.

-- 16.10.2017 11:42:42 --

dovlato в сообщении #1255995 писал(а):
Да, но для $\Delta y$ достаточна неизменность энергии.

Что-то я недопонял... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 11:48 
Заслуженный участник


28/12/12
7884
Munin в сообщении #1255997 писал(а):
Что-то я недопонял...

$\left|\dfrac{mV_1^2}{2}-\dfrac{mV_2^2}{2}\right|=mgh.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не, а почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 12:15 
Заслуженный участник


28/12/12
7884
Munin в сообщении #1256005 писал(а):
Не, а почему?

Сохранение энергии.
Очевидно, что при минимальной скорости в одной из точек в другой скорость тоже минимальна, поэтому траектория прямого и обратного полета одна и та же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
DimaM в сообщении #1256007 писал(а):
Очевидно, что при минимальной скорости в одной из точек в другой скорость тоже минимальна

Постойте, почему это?

Хотя...

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 12:38 
Заслуженный участник


28/12/12
7884
Munin в сообщении #1256009 писал(а):
Постойте, почему это?

Потому что скорости однозначно связаны из закона сохранения энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хм, тогда мой вопрос, конечно же, тривиален. Снимается.

-- 16.10.2017 12:39:47 --

DimaM в сообщении #1256010 писал(а):
Потому что скорости однозначно связаны из закона сохранения энергии.

Нет, это не "потому что", а "поэтому". Это-то уже понятно.

А вот ход с минимальностью мне был неочевиден (голова не раскочегарилась). Но если подумать, можно прийти к такому выводу... стоп, я снова в нём сомневаюсь.

-- 16.10.2017 12:44:18 --

А, да.

Напишу, чтобы снова не забыть.

Пусть из $A$ в $B$ мы добираемся с начальной скоростью $V_1,$ и оказываемся в $B$ со скоростью $V_2'>V_2.$ Тогда обратно мы можем попасть с начальной скоростью как $V_2',$ так и $V_2,$ причём в первом случае мы попадаем в $A$ с $V_1,$ а во-втором - с $V_1'<V_1$ (из сохранения энергии). Но $V_1=\min,$ противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 13:00 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я так (интуитивно) понимаю, что оптимальная траектория из А в Б - такая же, как и из В в А.
И тогда энергетическое соображение само собой получается. Кстати, в любом потенциальном поле сил.
А как ваше мнение о замкнутой ломаной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 14:20 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ну вот, самое интересное проспал.
Если что, задачку решал без привлечения углов.
Она у меня свелась к нахождению максимума функции

(Оффтоп)

$V_x(\sqrt{V_1^2-V_x^2}+\sqrt{V_2^2-V_x^2})$ по переменной $V_x$ - горизонтальной скорости.

Ответ такой же как у DimaM


dovlato
Признайтесь, это ваша задача?
Ее минимализм завораживает.
Почти как голубка Пикассо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение16.10.2017, 14:52 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Вроде бы моя. Сами же знаете, что такое не бывает чьё-то только кого-то одного.
Известна задача: для попадания из А в В необходим минимум скорости, для которой выполнено$$V^2=g(R+y)$$ где $R, y$ - расстояние от А до В, $y$ - разность высот. Ну вот и усё. Но обобщение на замкнутую ломаную - уже, возможно, моё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туда и обратно
Сообщение18.10.2017, 17:41 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Отсюда получим, что если тело массой $m$ перелетает с одной вершины замкнутой ломаной на другую, соседнюю, пока не вернётся в исходную точку,
то для этого требуется энергия (кинетическая) $$E=\frac12 mgL$$где $L$ - периметр выбранной ломаной. Вне зависимости от её формы!
Формула остаётся в силе, если ломаная не замкнута, но последняя точка находится над первой на одной вертикали.
Вообще-то эта энергия зависит от выбранной последовательности, в которой проходятся точки; но зато, когда последовательность выбрана,
она не зависит от выбора начальной точки. В прямом и в обратном направлении энергия одна и та же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group