Туда и обратно

[dovlato]

Тело, брошенное из точки А, попадает в точку В при минимальной скорости броска $V_1$.
Аналогично, для попадания из В в А минимум скорости броска равен $V_2$.
Воздуха нет, ускорение свободного падения $g$. Найти расстояние между А и В.

[Munin]

А почему только расстояние? Можно и $\Delta x,$ и $\Delta y.$
Красивое в лаконичности упражнение на параболу безопасности. Спасибо.

[DimaM]

Симпатичная задачка, спасибо.

(Оффтоп)

Расстояние $l=\dfrac{V_1^2+V_2^2}{2g}$, разница высот $h=\dfrac{\left|V_1^2-V_2^2\right|}{2g}.$

[dovlato]

Да, но для $\Delta y$ достаточна неизменность энергии.

-- Пн окт 16, 2017 12:35:48 --

А вот ещё, только что придумалось, в развитие.
Задана произвольная замкнутая ломаная $A_1A_2...A_n$. Перелёт из вершины $A_k$ в $A_{k+1}$ возможен при минимуме скорости броска $V_k$.
Найти периметр ломаной.

[Munin]

Хм. А если известны три точки и, соответственно, 6 скоростей из каждой в каждую - возможно ли восстановить их взаимное расположение в 3-мерном пространстве? Собственно, 5 неизвестных, и получается, одна скорость даже должна однозначно определяться остальными пятью.

-- 16.10.2017 11:42:42 --

dovlato в сообщении #1255995 писал(а):

Да, но для $\Delta y$ достаточна неизменность энергии.

Что-то я недопонял... :-(

[DimaM]

Munin в сообщении #1255997 писал(а):

Что-то я недопонял...

$\left|\dfrac{mV_1^2}{2}-\dfrac{mV_2^2}{2}\right|=mgh.$

[Munin]

Не, а почему?

[DimaM]

Munin в сообщении #1256005 писал(а):

Не, а почему?

Сохранение энергии.
Очевидно, что при минимальной скорости в одной из точек в другой скорость тоже минимальна, поэтому траектория прямого и обратного полета одна и та же.

[Munin]

DimaM в сообщении #1256007 писал(а):

Очевидно, что при минимальной скорости в одной из точек в другой скорость тоже минимальна

Постойте, почему это?

Хотя...

[DimaM]

Munin в сообщении #1256009 писал(а):

Постойте, почему это?

Потому что скорости однозначно связаны из закона сохранения энергии.

[Munin]

Хм, тогда мой вопрос, конечно же, тривиален. Снимается.

-- 16.10.2017 12:39:47 --

DimaM в сообщении #1256010 писал(а):

Потому что скорости однозначно связаны из закона сохранения энергии.

Нет, это не "потому что", а "поэтому". Это-то уже понятно.

А вот ход с минимальностью мне был неочевиден (голова не раскочегарилась). Но если подумать, можно прийти к такому выводу... стоп, я снова в нём сомневаюсь.

-- 16.10.2017 12:44:18 --

А, да.

Напишу, чтобы снова не забыть.

Пусть из $A$ в $B$ мы добираемся с начальной скоростью $V_1,$ и оказываемся в $B$ со скоростью $V_2'>V_2.$ Тогда обратно мы можем попасть с начальной скоростью как $V_2',$ так и $V_2,$ причём в первом случае мы попадаем в $A$ с $V_1,$ а во-втором - с $V_1'<V_1$ (из сохранения энергии). Но $V_1=\min,$ противоречие.

[dovlato]

Я так (интуитивно) понимаю, что оптимальная траектория из А в Б - такая же, как и из В в А.
И тогда энергетическое соображение само собой получается. Кстати, в любом потенциальном поле сил.
А как ваше мнение о замкнутой ломаной?

[fred1996]

Ну вот, самое интересное проспал.
Если что, задачку решал без привлечения углов.
Она у меня свелась к нахождению максимума функции

(Оффтоп)

$V_x(\sqrt{V_1^2-V_x^2}+\sqrt{V_2^2-V_x^2})$ по переменной $V_x$ - горизонтальной скорости.

Ответ такой же как у DimaM


dovlato
Признайтесь, это ваша задача?
Ее минимализм завораживает.
Почти как голубка Пикассо.

[dovlato]

Вроде бы моя. Сами же знаете, что такое не бывает чьё-то только кого-то одного.
Известна задача: для попадания из А в В необходим минимум скорости, для которой выполнено

$$V^2=g(R+y)$$

где $R, y$ - расстояние от А до В, $y$ - разность высот. Ну вот и усё. Но обобщение на замкнутую ломаную - уже, возможно, моё.

[dovlato]

Отсюда получим, что если тело массой $m$ перелетает с одной вершины замкнутой ломаной на другую, соседнюю, пока не вернётся в исходную точку,
то для этого требуется энергия (кинетическая)

$$E=\frac12 mgL$$

где $L$ - периметр выбранной ломаной. Вне зависимости от её формы!
Формула остаётся в силе, если ломаная не замкнута, но последняя точка находится над первой на одной вертикали.
Вообще-то эта энергия зависит от выбранной последовательности, в которой проходятся точки; но зато, когда последовательность выбрана,
она не зависит от выбора начальной точки. В прямом и в обратном направлении энергия одна и та же.