Соотношение полноты поляризационных векторов массивных бозон

[watmann]

Здравствуйте,

в рамках изучения механизма Хиггса нас попросили доказать соотношение полноты для поляризационных векторов массивных бозонов. Соотношение вроде простое и доказательство сводится к расписыванию суммы произведений векторов. Однако, видимо, я где-то делаю ошибку и не могу свести до конца.

Мои потуги на этот момент:

Соотношение полноты: $\sum\limits_{\lambda} \varepsilon_{\mu}^{(\lambda)*}\varepsilon_{\nu}^{(\lambda)}=-\eta_{\mu \nu}+\frac{p_\mu p_\nu }{M^2}$

где $\lambda$ - состояния спиральности.

Поляризационные вектора:
$\varepsilon_\mu^{\lambda=1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ i\\ 0 \end{pmatrix}$

$\varepsilon_\mu^{\lambda=-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ -i\\ 0 \end{pmatrix}$

$\varepsilon_\mu^{\lambda=0}=\frac{1}{M}\begin{pmatrix} |p_{\mu}| \\ 0\\ 0\\ E \end{pmatrix}$


Распишем сумму:
$\sum\limits_{\lambda} \varepsilon_{\mu}^{(\lambda)*}\varepsilon_{\nu}^{(\lambda)}=\eta_{\mu \nu}\sum\limits_{\lambda}\varepsilon^{\nu}^{(\lambda)*}\varepsilon_{\nu}^{(\lambda)}=\eta_{\mu \nu}(\varepsilon^{\nu}^{(0)*}\varepsilon_{\nu}^{(0)}+\varepsilon^{\nu}^{(1)*}\varepsilon_{\nu}^{(1)}+\varepsilon^{\nu}^{(-1)*}\varepsilon_{\nu}^{(-1)})=\eta_{\mu \nu}(\frac{p^\nu p_\nu}{M^2}+\frac{E^2}{M^2}+\frac{1}{2}(0+1^2+(-i)(i)+0)+\frac{1}{2}(0+1^2+(i)(-i)+0))=\eta_{\mu \nu}(\frac{p^\nu p_\nu}{M^2}+\frac{E^2}{M^2}+2)

И вот тут я не могу понять что же делать дальше. Как свести к нужному виду? Не делаю ли я где-то ошибки и поэтому не могу получить результат?

[Cos(x-pi/2)]

watmann
Может быть, лучше к подобным "соотношениям полноты" подходить просто с позиции геометрии (ведь они не зависят от конкретного выбора ортов поляризации).

(пояснения)

Для ясности сначала рассмотрим в обычной (евклидовой) трёхмерной геометрии разложение произвольного вещественного вектора $\vec{X}$ по трём вещественным ортам $\vec{a}^{(i)},$ $i=1,2,3:$

$\vec{X}=\sum\limits_{i} \vec{a}^{(i)} X_i,$

и подставим сюда (получающееся отсюда же с учётом того, что $\vec{a}^{(i)} \cdot \vec{a}^{(k)} = \delta_{ik},$ где точка означает евклидово скалярное произведение) выражение $X_i=\vec{a}^{(i)} \cdot \vec{X}:$

$\vec{X}=\sum\limits_{i} \vec{a}^{(i)} (\vec{a}^{(i)} \cdot \vec{X}).$

В компонентах это означает, что:

$X_m = \sum\limits_{i} a_m^{(i)} (\vec{a}^{(i)} \cdot \vec{X})=\sum\limits_{i} a_m^{(i)} \sum\limits_{n} a_n^{(i)} X_n.$

Поскольку всё это верно для любого $\vec{X},$ то можно записать это в виде символического, операторного равенства (тут скобки с точкой означают заготовку для скалярного произведения с любым вектором $\vec{X}):$

$\sum\limits_{i} \vec{a}^{(i)} (\vec{a}^{(i)} \cdot \, ) = 1.$

Другими словами: сумма операторов проецирования на орты равна единичному оператору. Это и есть соотношение полноты системы ортов. В компонентах оно принимает вид равенства:

$\sum\limits_{i} a_m^{(i)} a_n^{(i)}=\delta_{mn},$

поскольку должно быть

$X_m=\sum\limits_{n} \delta_{mn} X_n.$




Вот. А теперь Вам надо получить аналогичное равенство для трёх пространственно-подобных ортов $\vec{a}^{(i)}$ (по-прежнему буду обозначать их буквами "a", лень писать варэпсилоны :), пользуясь 4-мерной геометрией Минковского. В 4-мерном варианте все векторы рассматриваем как 4-компонентные и далее обозначаем их просто буквами без стрелочек.

Начните аналогично - с разложения произвольного 4-мерного вектора $X$ по ортам. Но теперь нам мало трёх ортов $a^{(i)}$, поэтому добавляем в игру 4-мерный временной орт $a^{(0)}.$ Условие ортонормировки 4-мерных ортов записывается по правилам геометрии Минковского:

$a^{(\mu)} \cdot a^{(\nu)} = \eta^{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}.$

Тогда:

$X=a^{(\alpha)}X_{\alpha}},$ где $X_{\alpha}}=\eta_{\alpha \beta}X^{\beta}=\eta_{\alpha \beta}\, (a^{(\beta)} \cdot X)$

Это проверьте сами, учитывая, что точка теперь означает скалярное произведение векторов в геометрии Минковского, и что ведётся суммирование по одинаковым верхнему и нижнему греческим индексам, со значениями $0,1,2,3.$ И дальше аналогично разобранному трёхмерному примеру сами действуйте, и тогда придёте к равенству, которое в компонентах означает, что:

$X_{\mu}=a^{(\alpha)}_{\mu}\,\eta_{\alpha \beta}\, a^{(\beta)}_{\nu}X^{\nu}}.$

Поскольку это верно для любого $X,$ причём $X_{\mu}=\eta_{\mu \nu} X^{\nu},$ то

$a^{(\alpha)}_{\mu}\,\eta_{\alpha \beta}\, a^{(\beta)}_{\nu}=\eta_{\mu \nu}.$

Вот, это и есть 4-мерный аналог трёхмерного условия полноты ортов. Теперь выпишите здесь в сумме по $\alpha$ и $\beta$ явно члены с временным и пространственным индексом; тогда увидите, что:

$\sum\limits_{i} a^{(i)}_{\mu} a^{(i)}_{\nu} = a^{(0)}_{\mu} a^{(0)}_{\nu} - \eta_{\mu \nu}$

Наконец, чтобы вернуться к Вашей задачке, осталось выбрать временной орт $a^{(0)}$ в соответствии с заданной физической характеристикой массивной частицы. Пусть $p$ - времениподобный вектор 4-импульса реальной частицы с массой $M.$ Тогда $p \cdot p = M^2,$ и на роль временного орта, нормированного условием $a^{(0)} \cdot a^{(0)} = 1,$ годится $a^{(0)}=p/M,$ так что

$a^{(0)}_{\mu}=p_{\mu}/M.$

Если вместо вещественных пространственных ортов пользоваться их комплексными линейными комбинациями, то в формулах скалярного произведения появится комплексно-сопряжённый орт (будут выражения типа: $X_i=\vec{a}^{(i)*} \cdot \vec{X}).$ Тогда этот знак сопряжения появится и в итоговой формуле. Ну и, конечно, в роли индекса поляризации $i$ можно написать букву $\lambda,$ если она больше нравится :)

[Cos(x-pi/2)]

watmann
А если задать конкретные векторы поляризации, то тогда следует проверять все равенства, содержащиеся в

$\sum\limits_{i} \varepsilon_{\mu}^{(i)*}\varepsilon_{\nu}^{(i)}=-\eta_{\mu \nu}+\frac{p_\mu p_\nu }{M^2},$

то есть надо в левой стороне этого равенства придавать по очереди индексам $\mu$ и $\nu$ значения $0,1,2,3$ во всевозможных сочетаниях, вычислять сумму по номеру $i$ ортов поляризации, и смотреть, совпадает ли результат с правой стороной.

Конечно, всё должным образом совпадает, если правильно записаны компоненты ортов поляризации. Например, если первый и второй орты поляризации выбраны в том виде, в каком у Вас записаны $\varepsilon_\mu^{(+1)}$ и $\varepsilon_\mu^{(-1)},$ т.е. с равными нулю временными и третьими (то бишь z-) компонентами, то это означает, что рассмотрение ведётся в такой системе координат, где $p_3=|\vec{p}|,$ $p_1=p_2=0.$ Тогда в системе покоя частицы (т.е. при $\vec{p}=0)$ третий орт поляризации должен иметь компоненты $0,0,0,1;$ а не в системе покоя, применив к нему буст вдоль оси $3$, получим орт с компонентами $|\vec{p}|/M, 0, 0, E_{\vec{p}}/M.$

Т.е. у Вас с ошибкой выписана временная компонента третьего ("нулевого" в Ваших обозначениях) орта поляризации: вместо $|p_{\mu}|$ должно быть $|\vec{p}|.$ Кроме того, после слов "Распишем сумму" расписывание у Вас пошло неправильно: появились три одинаковых индекса $\nu$ (этого нельзя допускать) и, как следствие, слагаемые дальше написаны неверно.

[watmann]

Большое спасибо за такой развернутый и полный ответ! Получилось всё довести до ума и в общем случае, и в случае конкретных векторов.

(Оффтоп)

(Мой семинарист сказал что общий случай это слишком сложно. Мне конечно общее доказательство больше нравится, потому что для меня стали куда более прозрачными все аналогии 4-мерного мира и 3-мерного мира, да и вообще какая-то универсальная красота в этом всём появилась, за что Вам отдельное огромное спасибо :) ).

Однако, в случае конкретных векторов есть вещь, которая меня смутила (и которая почему-то раньше не приходила в голову): то, что мы вообще имеем право перемножать ковариантный и ковариантный вектор или контравариантный и контравариантный вектора (т.е. $\varepsilon_{\mu}^{\lambda*}\varepsilon_{\nu}^{\lambda}$ - это тензор). Проводя аналогию с обычными векторами - я не понимаю что вообще может получиться от скалярного произведения вектор-столбца на вектор-столбец или вектора-строки на вектор-строку. Тензорное произведение векторов вроде тоже должно быть между ковариантным и контравариантным векторами. Я конечно могу принять как факт что такое можно делать, но он всё равно меня смущает.

(Оффтоп)

Наглость - второе счастье. У меня, увы, не было курса по тензорному анализу на бакалаврате, а теперь на магистратуре маячит много тензорной алгебры и я имею наглость спросить не знаете ли Вы приличного учебника по тензорному анализу? Такого, чтобы можно было сесть и прочитать, потому что пока что мои знания стремятся к нулю, а рандомные отрывки из разных источников никак не помогают. Можно и из англоязычной литературы.

[Cos(x-pi/2)]

watmann в сообщении #1256348 писал(а):

я не понимаю что вообще может получиться от скалярного произведения вектор-столбца на вектор-столбец или вектора-строки на вектор-строку. Тензорное произведение векторов вроде тоже должно быть между ковариантным и контравариантным векторами. Я конечно могу принять как факт что такое можно делать, но он всё равно меня смущает.

В этом сюжете нет "скалярного произведения столбцов". Всё просто:

(пояснение)

Пусть у нас есть два 4-мерных вектора $a$ и $b$ (с компонентами $a_{\mu}$ и $b_{\mu}).$ Тогда, перемножив обычным образом (то есть как число на число) их компоненты друг на друга во всех сочетаниях, получаем 16 величин: $a_{\mu}b_{\nu},$ где каждый индекс пробегает четыре значения. Эти величины называются компонентами тензора второго ранга; перемножение, которое мы сделали, при желании можно назвать тензорным произведением векторов.

Основное (определяющее!) свойство тензора второго ранга: его компоненты преобразуются как произведения двух компонент векторов. В данном примере это свойство имеет место с очевидностью - величины $a_{\mu}b_{\nu}$ представляют собой именно произведения двух компонент векторов. Набор величин $b_{\mu}a_{\nu}$ - тоже тензор второго ранга (при $b \neq a$ отличный от тензора с компонентами $a_{\mu}b_{\nu}).$

Обратите внимание: можно составить из векторов $a$ и $b$ ещё и вот такую парочку тензоров второго ранга (т.е. парочку 16-компонентных наборов величин с тем же самым характерным для тензора второго ранга законом преобразования): тензор $a_{\mu}a_{\nu}$ и тензор $b_{\mu}b_{\nu}.$

Если ввести в игру ещё третий вектор, $c$ c компонентами $c_{\mu},$ то из векторов $a,$ $b$ и $c$ можно понаделать ещё больше тензоров второго ранга, и в том числе - тензор $c_{\mu}c_{\nu}.$

Теперь заметьте, что просуммировав одноимённые компоненты двух тензоров второго ранга, мы получим опять тензор второго ранга - ведь у таких слагаемых закон преобразования один и тот же, свойственный тензору второго ранга. Например, набор величин $a_{\mu}b_{\nu}+b_{\mu}c_{\nu}$ - тензор второго ранга. И, значит, если мы прибавим аналогично ещё какой-нибудь тензор второго ранга, то опять получим тензор второго ранга.

В частности, тензором второго ранга является набор вот таких величин:

$a_{\mu}a_{\nu}+b_{\mu}b_{\nu}+c_{\mu}c_{\nu}.$

Это не "скалярное произведение", а просто сумма трёх тензоров.

В Вашей задаче рассматривалась как раз такая сумма трёх тензоров; роль векторов $a,$ $b$ и $c$ играли орты поляризации $\varepsilon^{(\lambda=+1)},$ $\varepsilon^{(\lambda=-1)},$ и $\varepsilon^{(\lambda=0)}.$

watmann в сообщении #1256348 писал(а):

не знаете ли Вы приличного учебника по тензорному анализу?

Подходящий учебник по тензорному анализу затрудняюсь назвать. Может быть, коллеги здесь на форуме посоветуют оптимальную книгу.

(Оффтоп)

На мой взгляд, для разбора задач начального уровня важно как можно больше "выводить азы самому себе самостоятельно", не заучивая тексты из книг. Когда дойдёте до ОТО, то без тщательного изучения книг будет уже совсем никак, а для задач СТО углубление в серьёзный тензорный анализ - "из пушек по воробьям" (это имхо, м.б. я не прав).

На начальном уровне важно осмысленно освоить наиболее распространённую систему обозначений (чтобы потом не бояться их себе заменять по своему желанию, и не пугаться, когда в статьях или книгах попадутся непривычные отличия). Кстати, в этом плане, мои "пояснения" не очень-то хорошие, их надо бы подправить: поменять нижние индексы на верхние.

Хотя в трёхмерных задачках вроде привычнее записывать номер компонент векторов как нижний индекс, в СТО индекс компонент 4-мерных векторов чаще считается верхним, а номер базисного орта при этом приходится записывать внизу, чтобы пользоваться очень удобным правилом - "по двум одинаковым индексам, причём один из них верхний, другой нижний, всегда подразумевается суммирование".

Например, пусть $e_{(\alpha)}, \, \alpha=0,1,2,3$ - базисные орты системы координат, $a$ - вектор. Тогда (индекс в скобках означает номер вектора, а не номер компоненты вектора):

$a=a^{\mu}e_{(\mu)}.$

Пусть $e'_{(\alpha)}$ - другие базисные орты, относящиеся к другой системе координат, связанной с предыдущей преобразованием Лоренца. Тогда каждый старый базисный орт можно разложить по новому базису. Нюанс только в том, как условиться записывать индексы и какой буквой обозначить компоненты базисных ортов; допустим, так:

$e_{(\mu)}=L^{\nu}_{\, \mu}e'_{(\nu)}.$

Тогда, подставив это в формулу для $a,$ имеем:

$a=L^{\nu}_{\, \mu}a^{\mu}e'_{(\nu)}$

Сравнив с $a=a'^{\nu}e'_{(\nu)},$ получаем "закон преобразования компонент вектора":

$a'^{\nu}=L^{\nu}_{\, \mu}a^{\mu}.$

То есть, как видим, при выбранном выше способе записи индексов у компонент базисных ортов получилось привычное из линейной алгебры правило преобразования компонент вектора: "столбец" величин $a^{\mu}$ преобразуется в новый "столбец" $a'^{\nu}$ линейным преобразованием с коэффициентами $L^{\nu}_{\, \mu},$ составляющими квадратную матрицу; индекс $\nu$ здесь служит номером строки матрицы, $\mu$ - номер столбца в матрице.

Тензор второго ранга по определению преобразуется как произведение двух компонент векторов, то есть:

$T'^{\mu \nu}= L^{\mu}_{\, \alpha}L^{\nu}_{\, \beta}T^{\alpha \beta}.$

Аналогично определяются тензоры более высокого ранга: тензор ранга $n$ преобразуется как $n$-кратное произведение компонент векторов.

Осталось добавить в подобный сюжет "метрический тензор" $e_{(\mu)} \cdot e_{(\nu)}=\eta_{\mu \nu}$ с его свойством инвариантности к преобразованиям Лоренца (так что и $e'_{(\mu)} \cdot e'_{(\nu)}=\eta_{\mu \nu}),$ вот и получится почти весь нужный для начала "тензорный анализ".

Разумеется, это только набросок плана. На практике надо обязательно для каждого пункта разбирать конкретные примеры, вникать в отличия СТО-геометрии от евклидовой, находить матричные элементы $L^{\nu}_{\, \mu}$ для разных частных случаев преобразования Лоренца, поупражняться в "опускании и поднимании" индексов с помощью метрического тензора $\eta_{\mu \nu}$ и его обратной матрицы $\eta^{\mu \nu}$ (и уже из этого по мере надобности самостоятельно находить законы преобразования тензоров с разными количествами верхних и нижних индексов; зубрить ничего не надо, все подобные технические мелочи надо вывести себе своими руками, тогда и не будет непоняток).