Математическая логика.

[integral2009]

Помогите, пожалуйста, разобраться!

Можно ли, используя эквивалентные преобразования понять значение высказываний $A,B$, если:

$\bigg((A\vee \overline{B})\to \overline{\overline{A}\vee B}\bigg) \to B\vee \overline{A}$

Первое эквивалентное преобразование, которые напрашивается -- это такое:

$\overline{\overline{A}\vee B}=\overline{B}\wedge A$

Других преобразований не придумать. Дальше только напрашивается использование таблиц истинности. Но без них возможно ли как-то решить?

-- Пт окт 13, 2017 21:49:48 --

Правильно ли я понимаю, что судя по формулировке импликация $\bigg((A\vee \overline{B})\to \overline{\overline{A}\vee B}\bigg) \to B\vee \overline{A}$ подразумевается истинной?

[gefest_md]

Формула принимает значение $0$ (ложь) тогда и только тогда, когда $v(A)=1$ и $v(B)=0$.

[integral2009]

gefest_md в сообщении #1255465 писал(а):

Формула принимает значение $0$ (ложь) тогда и только тогда, когда $v(A)=1$ и $v(B)=0$.

Какая именно формула, вы понимаете ввиду исходную огромную формулу, то понятно это из определения импликации. Но боюсь, что неверно понял обозначения.

[arseniiv]

integral2009 в сообщении #1255458 писал(а):

Других преобразований не придумать.

Ну здрасьте, а как же эквивалентность $X\to Y$ и $\neg X\vee Y$?

[integral2009]

arseniiv в сообщении #1255498 писал(а):

Ну здрасьте, а как же эквивалентность $X\to Y$ и $\neg X\vee Y$?

Спасибо, да, это действительно подзабыл. Вот, продвинулся уже существенно сильнее, но в конце затык.

$\bigg((A\vee \overline{B})\to \overline{\overline{A}\vee B}\bigg) \to B\vee \overline{A}\leftrightarrow \bigg((A\vee \overline{B})\to \overline{B}\wedge A\bigg) \to B\vee \overline{A}\leftrightarrow$

$\leftrightarrow\bigg((\overline{A\vee \overline{B})}\vee \big(\overline{B}\wedge A\big)\bigg) \to B\vee \overline{A}\leftrightarrow \overline{\bigg((\overline{A\vee \overline{B})}\vee \big(\overline{B}\wedge A\big)\bigg)} \vee \big(B\vee \overline{A}\big)\leftrightarrow$

$\leftrightarrow {\bigg(({A\vee \overline{B})}\wedge \overline{\big(\overline{B}\wedge A\big)}\bigg)} \vee \big(B\vee \overline{A}\big)\leftrightarrow {\bigg(({A\vee \overline{B})}\wedge {\big({B}\vee\overline{A}\big)}\bigg)} \vee \big(B\vee \overline{A}\big)\leftrightarrow$

$\leftrightarrow {\bigg(({A\wedge B) \vee (A\wedge \overline{A})\vee (\overline{B}\wedge \overline{A})\vee (\overline{B}\wedge B)}}\bigg)} \vee \big(B\vee \overline{A}\big)\leftrightarrow $

$\leftrightarrow {\bigg(({A\wedge B) \vee (\overline{B}\wedge \overline{A})\bigg)} \vee \big(B\vee \overline{A}\big)\leftrightarrow$

$\leftrightarrow {({A\wedge B) \vee (\overline{B}\wedge \overline{A})} \vee B\vee \overline{A}\leftrightarrow$

Дальше пока что не знаю -- что делать. И исходное высказывание в задаче должно подразумеваться истинным?)

-- Сб окт 14, 2017 03:33:40 --

Получается, что либо оба высказывания истины, либо оба ложны, либо В истино, либо А ложно (если исходное высказывание истинно)

[integral2009]

Кажется понял, судя по всему -- просто нельзя понять значения высказываний $A$, $B$, потому как каждое из них может быть истинным, каждое из них может быть ложным. Это и есть ответ на задание, правильно?

[provincialka]

В общем да, нельзя. Кстати, у меня окончательное выражение, после всех упрощений, получилось простым: $ B\vee \overline{A}$

-- 14.10.2017, 14:35 --

А вот если бы на него навесить ещё одно отрицание -- тогда да, тогда из истинности (этого отрицания) истинность $A$ и $B$ следовала бы однозначно.

[integral2009]

provincialka в сообщении #1255632 писал(а):

В общем да, нельзя. Кстати, у меня окончательное выражение, после всех упрощений, получилось простым: $ B\vee \overline{A}$

Спасибо! А внутри преобразований нужно было ставить $\leftrightarrow$ или $\Longleftrightarrow$? Есть ли здесь разница?

[Someone]

integral2009 в сообщении #1255634 писал(а):

А внутри преобразований нужно было ставить $\leftrightarrow$ или $\Longleftrightarrow$? Есть ли здесь разница?

Я ещё утром хотел Вам об этом безобразии написать, но не было возможности. Вы фактически перепутали импликацию и логический вывод. Как я понял, стрелка "$\rightarrow$" у Вас означает импликацию, тогда $A\leftrightarrow B$ нужно рассматривать как сокращение формулы $(A\rightarrow B)\wedge(B\rightarrow A)$, и ваша длиннющая формула не является логическим выводом. Не говоря уже о куче пропущенных скобок. Поэтому для логического вывода надо использовать какие-то другие значки, например, "$\Rightarrow$" и "$\Leftrightarrow$". А если речь идёт о том, что преобразования не меняют логического значения формулы, то не грех вместо стрелок и знак равенства использовать.

[kernel1983]

Someone в сообщении #1255641 писал(а):

Вы фактически перепутали импликацию и логический вывод.

Формула $F \to G$ ($F \leftrightarrow G$) тождественно истинна тогда и только тогда, когда формула $G$ следует из формулы $F$ (формулы $F$ и $G$ равносильны). Но, конечно, обозначения используют разные (пока эти теоремы не доказаны).

[Someone]

kernel1983 в сообщении #1255643 писал(а):

Формула $F \to G$ ($F \leftrightarrow G$) тождественно истинна тогда и только тогда, когда формула $G$ следует из формулы $F$ (формулы $F$ и $G$ равносильны).

Ну и что? Это что, является индульгенцией на возникающую путаницу? Вы посмотрите, во что превратилась исходная формула $\bigg((A\vee \overline{B})\to \overline{\overline{A}\vee B}\bigg) \to B\vee \overline{A}$.

kernel1983 в сообщении #1255643 писал(а):

Но, конечно, обозначения используют разные (пока эти теоремы не доказаны).

По-моему, всегда разные обозначения используют.